แก้โจทย์ 3x+2y=12,12=9x-8y

$$3 x + 2 y = 12,12 = 9 x - 8 y$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7} \approx 2.857142857$$

$$y = \frac{12}{7} = 1\frac{5}{7} \approx 1.714285714$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$9x-8y=12$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+2y=12,9x-8y=12$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+2y=12$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-2y+12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+12\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -2y+12

$$x=-\frac{2}{3}y+4$$

ทดแทน -\frac{2y}{3}+4 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 9x-8y=12

$$9\left(-\frac{2}{3}y+4\right)-8y=12$$

คูณ 9 ด้วย -\frac{2y}{3}+4

$$-6y+36-8y=12$$

เพิ่ม -6y ไปยัง -8y

$$-14y+36=12$$

ลบ 36 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-14y=-24$$

หารทั้งสองข้างด้วย -14

$$y=\frac{12}{7}$$

ทดแทน \frac{12}{7} สำหรับ y ใน x=-\frac{2}{3}y+4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{12}{7}+4$$

คูณ -\frac{2}{3} ครั้ง \frac{12}{7} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{8}{7}+4$$

เพิ่ม 4 ไปยัง -\frac{8}{7}

$$x=\frac{20}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{12}{7}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$9x-8y=12$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+2y=12,9x-8y=12$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-2\times 9}&-\frac{2}{3\left(-8\right)-2\times 9}\\-\frac{9}{3\left(-8\right)-2\times 9}&\frac{3}{3\left(-8\right)-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{3}{14}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{21}\times 12+\frac{1}{21}\times 12\\\frac{3}{14}\times 12-\frac{1}{14}\times 12\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{7}\\\frac{12}{7}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{12}{7}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$9x-8y=12$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+2y=12,9x-8y=12$$

เพื่อทำให้ 3x และ 9x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 9 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$9\times 3x+9\times 2y=9\times 12,3\times 9x+3\left(-8\right)y=3\times 12$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$27x+18y=108,27x-24y=36$$

ลบ 27x-24y=36 จาก 27x+18y=108 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$27x-27x+18y+24y=108-36$$

เพิ่ม 27x ไปยัง -27x ตัดพจน์ 27x และ -27x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$18y+24y=108-36$$

เพิ่ม 18y ไปยัง 24y

$$42y=108-36$$

เพิ่ม 108 ไปยัง -36

$$42y=72$$

หารทั้งสองข้างด้วย 42

$$y=\frac{12}{7}$$

ทดแทน \frac{12}{7} สำหรับ y ใน 9x-8y=12 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$9x-8\times \frac{12}{7}=12$$

คูณ -8 ด้วย \frac{12}{7}

$$9x-\frac{96}{7}=12$$

เพิ่ม \frac{96}{7} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$9x=\frac{180}{7}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9

$$x=\frac{20}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{12}{7}$$