แก้โจทย์ 3x+10y=102,3x+1y=84

$$3 x + 10 y = 102,3 x + 1 y = 84$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{82}{3} = 27\frac{1}{3} \approx 27.333333333$$

$$y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+10y=102,3x+y=84$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+10y=102$$

ลบ 10y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-10y+102$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+102\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -10y+102

$$x=-\frac{10}{3}y+34$$

ทดแทน -\frac{10y}{3}+34 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+y=84

$$3\left(-\frac{10}{3}y+34\right)+y=84$$

คูณ 3 ด้วย -\frac{10y}{3}+34

$$-10y+102+y=84$$

เพิ่ม -10y ไปยัง y

$$-9y+102=84$$

ลบ 102 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-9y=-18$$

หารทั้งสองข้างด้วย -9

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน x=-\frac{10}{3}y+34 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{10}{3}\times 2+34$$

คูณ -\frac{10}{3} ด้วย 2

$$x=-\frac{20}{3}+34$$

เพิ่ม 34 ไปยัง -\frac{20}{3}

$$x=\frac{82}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{82}{3},y=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+10y=102,3x+y=84$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-10\times 3}&-\frac{10}{3-10\times 3}\\-\frac{3}{3-10\times 3}&\frac{3}{3-10\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{27}&\frac{10}{27}\\\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{27}\times 102+\frac{10}{27}\times 84\\\frac{1}{9}\times 102-\frac{1}{9}\times 84\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{82}{3}\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{82}{3},y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+10y=102,3x+y=84$$

ลบ 3x+y=84 จาก 3x+10y=102 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-3x+10y-y=102-84$$

เพิ่ม 3x ไปยัง -3x ตัดพจน์ 3x และ -3x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$10y-y=102-84$$

เพิ่ม 10y ไปยัง -y

$$9y=102-84$$

เพิ่ม 102 ไปยัง -84

$$9y=18$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน 3x+y=84 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x+2=84$$

ลบ 2 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=82$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{82}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{82}{3},y=2$$