แก้โจทย์ 3n^2-4n-15=0

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

หาค่า n

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$n=3$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 3n^{2}+an+bn-15 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบตัวเลขค่าลบมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจำนวนบวก แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -45

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -4

$$a=-9 b=5$$

เขียน 3n^{2}-4n-15 ใหม่เป็น \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

แยกตัวประกอบ 3n ในกลุ่มแรกและ 5 ใน

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม n-3 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข n-3=0 และ 3n+5=0

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$3n^{2}-4n-15=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 3 แทน a, -4 แทน b และ -15 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

ยกกำลังสอง -4

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

คูณ -4 ด้วย 3

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

คูณ -12 ด้วย -15

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

เพิ่ม 16 ไปยัง 180

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

หารากที่สองของ 196

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

ตรงข้ามกับ -4 คือ 4

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

คูณ 2 ด้วย 3

$$n=\frac{4±14}{6}$$

ตอนนี้ แก้สมการ n=\frac{4±14}{6} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 4 ไปยัง 14

$$n=\frac{18}{6}$$

หาร 18 ด้วย 6

$$n=3$$

ตอนนี้ แก้สมการ n=\frac{4±14}{6} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 14 จาก 4

$$n=-\frac{10}{6}$$

ทำเศษส่วน \frac{-10}{6} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$n=-\frac{5}{3}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$3n^{2}-4n-15=0$$

เพิ่ม 15 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

ลบ -15 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

ลบ -15 จาก 0

$$3n^{2}-4n=15$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

หารด้วย 3 เลิกทำการคูณด้วย 3

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

หาร 15 ด้วย 3

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

หาร -\frac{4}{3} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{2}{3} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{2}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{2}{3} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

เพิ่ม 5 ไปยัง \frac{4}{9}

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

ตัวประกอบn^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

เพิ่ม \frac{2}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$