แก้โจทย์ 3n^2+10n=8

$$3 n ^ { 2 } + 10 n = 8$$

หาค่า n

$$n=-4$$

$$n=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

ลบ 8 จากทั้งสองด้าน

$$3n^{2}+10n-8=0$$

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 3n^{2}+an+bn-8 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นบวกจำนวนบวกมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจุดลบ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -24

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม 10

$$a=-2 b=12$$

เขียน 3n^{2}+10n-8 ใหม่เป็น \left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right)

$$\left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right)$$

แยกตัวประกอบ n ในกลุ่มแรกและ 4 ใน

$$n\left(3n-2\right)+4\left(3n-2\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม 3n-2 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(3n-2\right)\left(n+4\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข 3n-2=0 และ n+4=0

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$3n^{2}+10n=8$$

ลบ 8 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3n^{2}+10n-8=8-8$$

ลบ 8 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$3n^{2}+10n-8=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 3 แทน a, 10 แทน b และ -8 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$n=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

ยกกำลังสอง 10

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

คูณ -4 ด้วย 3

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

คูณ -12 ด้วย -8

$$n=\frac{-10±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

เพิ่ม 100 ไปยัง 96

$$n=\frac{-10±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

หารากที่สองของ 196

$$n=\frac{-10±14}{2\times 3}$$

คูณ 2 ด้วย 3

$$n=\frac{-10±14}{6}$$

ตอนนี้ แก้สมการ n=\frac{-10±14}{6} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -10 ไปยัง 14

$$n=\frac{4}{6}$$

ทำเศษส่วน \frac{4}{6} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$n=\frac{2}{3}$$

ตอนนี้ แก้สมการ n=\frac{-10±14}{6} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 14 จาก -10

$$n=-\frac{24}{6}$$

หาร -24 ด้วย 6

$$n=-4$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$3n^{2}+10n=8$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$\frac{3n^{2}+10n}{3}=\frac{8}{3}$$

หารด้วย 3 เลิกทำการคูณด้วย 3

$$n^{2}+\frac{10}{3}n=\frac{8}{3}$$

หาร \frac{10}{3} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{5}{3} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{5}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{5}{3} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

เพิ่ม \frac{8}{3} ไปยัง \frac{25}{9} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

ตัวประกอบn^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$n+\frac{5}{3}=\frac{7}{3} n+\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

ลบ \frac{5}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$