แก้โจทย์ 3z^2+9z+6=0

$$3 { z }^{ 2 } +9z+6=0$$

หาค่า z

$$z=-2$$

$$z=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$z^{2}+3z+2=0$$

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น z^{2}+az+bz+2 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=3 ab=1\times 2=2$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเดียวกัน เนื่องจาก a+b เป็นบวก a และ b เป็นค่าบวกทั้งคู่ คู่ดังกล่าวเท่านั้นที่เป็นผลเฉลยระบบ

$$a=1 b=2$$

เขียน z^{2}+3z+2 ใหม่เป็น \left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right)

$$\left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right)$$

แยกตัวประกอบ z ในกลุ่มแรกและ 2 ใน

$$z\left(z+1\right)+2\left(z+1\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม z+1 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(z+1\right)\left(z+2\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข z+1=0 และ z+2=0

$$z=-1 z=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$3z^{2}+9z+6=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 3 แทน a, 9 แทน b และ 6 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$z=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

ยกกำลังสอง 9

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

คูณ -4 ด้วย 3

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 6}}{2\times 3}$$

คูณ -12 ด้วย 6

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-72}}{2\times 3}$$

เพิ่ม 81 ไปยัง -72

$$z=\frac{-9±\sqrt{9}}{2\times 3}$$

หารากที่สองของ 9

$$z=\frac{-9±3}{2\times 3}$$

คูณ 2 ด้วย 3

$$z=\frac{-9±3}{6}$$

ตอนนี้ แก้สมการ z=\frac{-9±3}{6} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -9 ไปยัง 3

$$z=-\frac{6}{6}$$

หาร -6 ด้วย 6

$$z=-1$$

ตอนนี้ แก้สมการ z=\frac{-9±3}{6} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 3 จาก -9

$$z=-\frac{12}{6}$$

หาร -12 ด้วย 6

$$z=-2$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$z=-1 z=-2$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$3z^{2}+9z+6=0$$

ลบ 6 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3z^{2}+9z+6-6=-6$$

ลบ 6 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$3z^{2}+9z=-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$\frac{3z^{2}+9z}{3}=-\frac{6}{3}$$

หารด้วย 3 เลิกทำการคูณด้วย 3

$$z^{2}+\frac{9}{3}z=-\frac{6}{3}$$

หาร 9 ด้วย 3

$$z^{2}+3z=-\frac{6}{3}$$

หาร -6 ด้วย 3

$$z^{2}+3z=-2$$

หาร 3 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{3}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{3}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$z^{2}+3z+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{3}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

เพิ่ม -2 ไปยัง \frac{9}{4}

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

ตัวประกอบz^{2}+3z+\frac{9}{4} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$z+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} z+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

ลบ \frac{3}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$z=-1 z=-2$$