แก้โจทย์ 3x^2-31x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

หาค่า x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=12$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 3x^{2}+ax+bx-60 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบตัวเลขค่าลบมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจำนวนบวก แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -180

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -31

$$a=-36 b=5$$

เขียน 3x^{2}-31x-60 ใหม่เป็น \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

แยกตัวประกอบ 3x ในกลุ่มแรกและ 5 ใน

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม x-12 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข x-12=0 และ 3x+5=0

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$3x^{2}-31x-60=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 3 แทน a, -31 แทน b และ -60 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

ยกกำลังสอง -31

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

คูณ -4 ด้วย 3

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

คูณ -12 ด้วย -60

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

เพิ่ม 961 ไปยัง 720

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

หารากที่สองของ 1681

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

ตรงข้ามกับ -31 คือ 31

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

คูณ 2 ด้วย 3

$$x=\frac{31±41}{6}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{31±41}{6} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 31 ไปยัง 41

$$x=\frac{72}{6}$$

หาร 72 ด้วย 6

$$x=12$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{31±41}{6} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 41 จาก 31

$$x=-\frac{10}{6}$$

ทำเศษส่วน \frac{-10}{6} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$x=-\frac{5}{3}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$3x^{2}-31x-60=0$$

เพิ่ม 60 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

ลบ -60 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

ลบ -60 จาก 0

$$3x^{2}-31x=60$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

หารด้วย 3 เลิกทำการคูณด้วย 3

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

หาร 60 ด้วย 3

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

หาร -\frac{31}{3} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{31}{6} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{31}{6} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{31}{6} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

เพิ่ม 20 ไปยัง \frac{961}{36}

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

เพิ่ม \frac{31}{6} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$