แก้โจทย์ 3x^2+5x+9=0

$$3 { x }^{ 2 } +5x+9=0$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6}\approx -0.833333333+1.518405597i$$

$$x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}\approx -0.833333333-1.518405597i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$3x^{2}+5x+9=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 3 แทน a, 5 แทน b และ 9 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

ยกกำลังสอง 5

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

คูณ -4 ด้วย 3

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\times 9}}{2\times 3}$$

คูณ -12 ด้วย 9

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-108}}{2\times 3}$$

เพิ่ม 25 ไปยัง -108

$$x=\frac{-5±\sqrt{-83}}{2\times 3}$$

หารากที่สองของ -83

$$x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{2\times 3}$$

คูณ 2 ด้วย 3

$$x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -5 ไปยัง i\sqrt{83}

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ i\sqrt{83} จาก -5

$$x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6} x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$3x^{2}+5x+9=0$$

ลบ 9 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x^{2}+5x+9-9=-9$$

ลบ 9 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$3x^{2}+5x=-9$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=-\frac{9}{3}$$

หารด้วย 3 เลิกทำการคูณด้วย 3

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-\frac{9}{3}$$

หาร -9 ด้วย 3

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-3$$

หาร \frac{5}{3} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{5}{6} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{5}{6} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=-3+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{5}{6} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-3+\frac{25}{36}$$

เพิ่ม -3 ไปยัง \frac{25}{36}

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{83}{36}$$

ตัวประกอบ x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} โดยทั่วไป เมื่อ x^{2}+bx+c เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{83}{36}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{83}{36}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{83}i}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{83}i}{6}$$

ลบ \frac{5}{6} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6} x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$