แก้โจทย์ 3x^2+11x=-24

$$3 { x }^{ 2 } +11x = -24$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6}\approx -1.833333333+2.153807997i$$

$$x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}\approx -1.833333333-2.153807997i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$3x^{2}+11x=-24$$

เพิ่ม 24 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x^{2}+11x-\left(-24\right)=-24-\left(-24\right)$$

ลบ -24 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$3x^{2}+11x-\left(-24\right)=0$$

ลบ -24 จาก 0

$$3x^{2}+11x+24=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 3 แทน a, 11 แทน b และ 24 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 3\times 24}}{2\times 3}$$

ยกกำลังสอง 11

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 3\times 24}}{2\times 3}$$

คูณ -4 ด้วย 3

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-12\times 24}}{2\times 3}$$

คูณ -12 ด้วย 24

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-288}}{2\times 3}$$

เพิ่ม 121 ไปยัง -288

$$x=\frac{-11±\sqrt{-167}}{2\times 3}$$

หารากที่สองของ -167

$$x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{2\times 3}$$

คูณ 2 ด้วย 3

$$x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -11 ไปยัง i\sqrt{167}

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ i\sqrt{167} จาก -11

$$x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6} x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$3x^{2}+11x=-24$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$\frac{3x^{2}+11x}{3}=-\frac{24}{3}$$

หารด้วย 3 เลิกทำการคูณด้วย 3

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=-\frac{24}{3}$$

หาร -24 ด้วย 3

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=-8$$

หาร \frac{11}{3} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{11}{6} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{11}{6} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}=-8+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{11}{6} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-8+\frac{121}{36}$$

เพิ่ม -8 ไปยัง \frac{121}{36}

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-\frac{167}{36}$$

ตัวประกอบx^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}=-\frac{167}{36}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{167}{36}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{11}{6}=\frac{\sqrt{167}i}{6} x+\frac{11}{6}=-\frac{\sqrt{167}i}{6}$$

ลบ \frac{11}{6} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6} x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$