แก้โจทย์ 3^14x+2y=6,3x+6y=18

$$3 ^ { 14 } x + 2 y = 6,3 x + 6 y = 18$$

หาค่า x, y

$$x=0$$

$$y=3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4782969x+2y=6,3x+6y=18$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4782969x+2y=6$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4782969x=-2y+6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4782969

$$x=\frac{1}{4782969}\left(-2y+6\right)$$

คูณ \frac{1}{4782969} ด้วย -2y+6

$$x=-\frac{2}{4782969}y+\frac{2}{1594323}$$

ทดแทน -\frac{2y}{4782969}+\frac{2}{1594323} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+6y=18

$$3\left(-\frac{2}{4782969}y+\frac{2}{1594323}\right)+6y=18$$

คูณ 3 ด้วย -\frac{2y}{4782969}+\frac{2}{1594323}

$$-\frac{2}{1594323}y+\frac{2}{531441}+6y=18$$

เพิ่ม -\frac{2y}{1594323} ไปยัง 6y

$$\frac{9565936}{1594323}y+\frac{2}{531441}=18$$

ลบ \frac{2}{531441} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{9565936}{1594323}y=\frac{9565936}{531441}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{9565936}{1594323} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ y ใน x=-\frac{2}{4782969}y+\frac{2}{1594323} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{2}{4782969}\times 3+\frac{2}{1594323}$$

คูณ -\frac{2}{4782969} ด้วย 3

$$x=\frac{-2+2}{1594323}$$

เพิ่ม \frac{2}{1594323} ไปยัง -\frac{2}{1594323} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=0,y=3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4782969x+2y=6,3x+6y=18$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4782969\times 6-2\times 3}&-\frac{2}{4782969\times 6-2\times 3}\\-\frac{3}{4782969\times 6-2\times 3}&\frac{4782969}{4782969\times 6-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4782968}&-\frac{1}{14348904}\\-\frac{1}{9565936}&\frac{1594323}{9565936}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4782968}\times 6-\frac{1}{14348904}\times 18\\-\frac{1}{9565936}\times 6+\frac{1594323}{9565936}\times 18\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=0,y=3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4782969x+2y=6,3x+6y=18$$

เพื่อทำให้ 4782969x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4782969

$$3\times 4782969x+3\times 2y=3\times 6,4782969\times 3x+4782969\times 6y=4782969\times 18$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$14348907x+6y=18,14348907x+28697814y=86093442$$

ลบ 14348907x+28697814y=86093442 จาก 14348907x+6y=18 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$14348907x-14348907x+6y-28697814y=18-86093442$$

เพิ่ม 14348907x ไปยัง -14348907x ตัดพจน์ 14348907x และ -14348907x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$6y-28697814y=18-86093442$$

เพิ่ม 6y ไปยัง -28697814y

$$-28697808y=18-86093442$$

เพิ่ม 18 ไปยัง -86093442

$$-28697808y=-86093424$$

หารทั้งสองข้างด้วย -28697808

$$y=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ y ใน 3x+6y=18 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x+6\times 3=18$$

คูณ 6 ด้วย 3

$$3x+18=18$$

ลบ 18 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=0,y=3$$