แก้โจทย์ 2x+1=4x^2+4x+5

$$2x+1=4 { x }^{ 2 } +4x+5$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}\approx -0.25+0.968245837i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}\approx -0.25-0.968245837i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

ลบ 4x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$2x+1-4x^{2}=4x+5$$

ลบ 4x จากทั้งสองด้าน

$$2x+1-4x^{2}-4x=5$$

รวม 2x และ -4x เพื่อให้ได้รับ -2x

$$-2x+1-4x^{2}=5$$

ลบ 5 จากทั้งสองด้าน

$$-2x+1-4x^{2}-5=0$$

ลบ 5 จาก 1 เพื่อรับ -4

$$-2x-4-4x^{2}=0$$

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$-4x^{2}-2x-4=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ -4 แทน a, -2 แทน b และ -4 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

ยกกำลังสอง -2

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

คูณ -4 ด้วย -4

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+16\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

คูณ 16 ด้วย -4

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-64}}{2\left(-4\right)}$$

เพิ่ม 4 ไปยัง -64

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-60}}{2\left(-4\right)}$$

หารากที่สองของ -60

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{15}i}{2\left(-4\right)}$$

ตรงข้ามกับ -2 คือ 2

$$x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{2\left(-4\right)}$$

คูณ 2 ด้วย -4

$$x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 2 ไปยัง 2i\sqrt{15}

$$x=\frac{2+2\sqrt{15}i}{-8}$$

หาร 2+2i\sqrt{15} ด้วย -8

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 2i\sqrt{15} จาก 2

$$x=\frac{-2\sqrt{15}i+2}{-8}$$

หาร 2-2i\sqrt{15} ด้วย -8

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4} x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

ลบ 4x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$2x+1-4x^{2}=4x+5$$

ลบ 4x จากทั้งสองด้าน

$$2x+1-4x^{2}-4x=5$$

รวม 2x และ -4x เพื่อให้ได้รับ -2x

$$-2x+1-4x^{2}=5$$

ลบ 1 จากทั้งสองด้าน

$$-2x-4x^{2}=5-1$$

ลบ 1 จาก 5 เพื่อรับ 4

$$-2x-4x^{2}=4$$

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$-4x^{2}-2x=4$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$\frac{-4x^{2}-2x}{-4}=\frac{4}{-4}$$

หารด้วย -4 เลิกทำการคูณด้วย -4

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-4}\right)x=\frac{4}{-4}$$

ทำเศษส่วน \frac{-2}{-4} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{4}{-4}$$

หาร 4 ด้วย -4

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-1$$

หาร \frac{1}{2} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{1}{4} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{1}{4} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{1}{4} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-1+\frac{1}{16}$$

เพิ่ม -1 ไปยัง \frac{1}{16}

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{15}{16}$$

ตัวประกอบx^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{16}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{16}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{15}i}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{15}i}{4}$$

ลบ \frac{1}{4} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4} x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}$$