แก้โจทย์ 256x^2-32x+1=0

$$256 { x }^{ 2 } -32x+1 = 0$$

หาค่า x

$$x=\frac{1}{16}=0.0625$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้ไขสมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ต้องมีการเขียนใหม่ด้านซ้ายมืออีกครั้งเนื่องจาก 256x^{2}+ax+bx+1 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้ไข

$$a+b=-32 ab=256\times 1=256$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเหมือนกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบ a และ b เป็นค่าลบ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 256

$$-1,-256 -2,-128 -4,-64 -8,-32 -16,-16$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1-256=-257 -2-128=-130 -4-64=-68 -8-32=-40 -16-16=-32$$

ผลเฉลยเป็นคู่ที่ให้ผลรวม -32

$$a=-16 b=-16$$

เขียน 256x^{2}-32x+1 ใหม่เป็น \left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right)

$$\left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right)$$

แยกตัวประกอบ 16x ในกลุ่มแรกและ -1 ในกลุ่มที่สอง

$$16x\left(16x-1\right)-\left(16x-1\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม 16x-1 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(16x-1\right)\left(16x-1\right)$$

เขียนใหม่เป็นทวินามกำลังสอง

$$\left(16x-1\right)^{2}$$

เมื่อต้องการค้นหาผลเฉลยของสมการ ให้แก้ 16x-1=0

$$x=\frac{1}{16}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$256x^{2}-32x+1=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 256 แทน a, -32 แทน b และ 1 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 256}}{2\times 256}$$

ยกกำลังสอง -32

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 256}}{2\times 256}$$

คูณ -4 ด้วย 256

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1024}}{2\times 256}$$

เพิ่ม 1024 ไปยัง -1024

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{0}}{2\times 256}$$

หารากที่สองของ 0

$$x=-\frac{-32}{2\times 256}$$

ตรงข้ามกับ -32 คือ 32

$$x=\frac{32}{2\times 256}$$

คูณ 2 ด้วย 256

$$x=\frac{32}{512}$$

ทำเศษส่วน \frac{32}{512} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 32

$$x=\frac{1}{16}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$256x^{2}-32x+1=0$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$256x^{2}-32x+1-1=-1$$

ลบ 1 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$256x^{2}-32x=-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 256

$$\frac{256x^{2}-32x}{256}=-\frac{1}{256}$$

หารด้วย 256 เลิกทำการคูณด้วย 256

$$x^{2}+\left(-\frac{32}{256}\right)x=-\frac{1}{256}$$

ทำเศษส่วน \frac{-32}{256} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 32

$$x^{2}-\frac{1}{8}x=-\frac{1}{256}$$

หาร -\frac{1}{8} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{1}{16} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{1}{16} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{256}+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{1}{16} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{-1+1}{256}$$

เพิ่ม -\frac{1}{256} ไปยัง \frac{1}{256} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=0$$

ตัวประกอบ x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256} โดยทั่วไป เมื่อ x^{2}+bx+c เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}=0$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{1}{16}=0 x-\frac{1}{16}=0$$

เพิ่ม \frac{1}{16} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{1}{16} x=\frac{1}{16}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว ผลเฉลยจะเหมือนกัน

$$x=\frac{1}{16}$$