แก้โจทย์ 25x^2-90x+82=0

$$25 x ^ { 2 } - 90 x + 82 = 0$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i=1.8+0.2i$$

$$x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i=1.8-0.2i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$25x^{2}-90x+82=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 25 แทน a, -90 แทน b และ 82 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 25\times 82}}{2\times 25}$$

ยกกำลังสอง -90

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 25\times 82}}{2\times 25}$$

คูณ -4 ด้วย 25

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-100\times 82}}{2\times 25}$$

คูณ -100 ด้วย 82

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-8200}}{2\times 25}$$

เพิ่ม 8100 ไปยัง -8200

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{-100}}{2\times 25}$$

หารากที่สองของ -100

$$x=\frac{-\left(-90\right)±10i}{2\times 25}$$

ตรงข้ามกับ -90 คือ 90

$$x=\frac{90±10i}{2\times 25}$$

คูณ 2 ด้วย 25

$$x=\frac{90±10i}{50}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{90±10i}{50} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 90 ไปยัง 10i

$$x=\frac{90+10i}{50}$$

หาร 90+10i ด้วย 50

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{90±10i}{50} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 10i จาก 90

$$x=\frac{90-10i}{50}$$

หาร 90-10i ด้วย 50

$$x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$25x^{2}-90x+82=0$$

ลบ 82 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$25x^{2}-90x+82-82=-82$$

ลบ 82 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$25x^{2}-90x=-82$$

หารทั้งสองข้างด้วย 25

$$\frac{25x^{2}-90x}{25}=-\frac{82}{25}$$

หารด้วย 25 เลิกทำการคูณด้วย 25

$$x^{2}+\left(-\frac{90}{25}\right)x=-\frac{82}{25}$$

ทำเศษส่วน \frac{-90}{25} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 5

$$x^{2}-\frac{18}{5}x=-\frac{82}{25}$$

หาร -\frac{18}{5} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{9}{5} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{9}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{82}{25}+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{9}{5} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{-82+81}{25}$$

เพิ่ม -\frac{82}{25} ไปยัง \frac{81}{25} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=-\frac{1}{25}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{25}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{25}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{9}{5}=\frac{1}{5}i x-\frac{9}{5}=-\frac{1}{5}i$$

เพิ่ม \frac{9}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$