แก้โจทย์ 25x^2-20x+12=0

$$25 x ^ { 2 } - 20 x + 12 = 0$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{2+2\sqrt{2}i}{5}\approx 0.4+0.565685425i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i+2}{5}\approx 0.4-0.565685425i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$25x^{2}-20x+12=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 25 แทน a, -20 แทน b และ 12 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 25\times 12}}{2\times 25}$$

ยกกำลังสอง -20

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 25\times 12}}{2\times 25}$$

คูณ -4 ด้วย 25

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-100\times 12}}{2\times 25}$$

คูณ -100 ด้วย 12

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-1200}}{2\times 25}$$

เพิ่ม 400 ไปยัง -1200

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{-800}}{2\times 25}$$

หารากที่สองของ -800

$$x=\frac{-\left(-20\right)±20\sqrt{2}i}{2\times 25}$$

ตรงข้ามกับ -20 คือ 20

$$x=\frac{20±20\sqrt{2}i}{2\times 25}$$

คูณ 2 ด้วย 25

$$x=\frac{20±20\sqrt{2}i}{50}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{20±20\sqrt{2}i}{50} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 20 ไปยัง 20i\sqrt{2}

$$x=\frac{20+20\sqrt{2}i}{50}$$

หาร 20+20i\sqrt{2} ด้วย 50

$$x=\frac{2+2\sqrt{2}i}{5}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{20±20\sqrt{2}i}{50} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 20i\sqrt{2} จาก 20

$$x=\frac{-20\sqrt{2}i+20}{50}$$

หาร 20-20i\sqrt{2} ด้วย 50

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i+2}{5}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{2+2\sqrt{2}i}{5} x=\frac{-2\sqrt{2}i+2}{5}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$25x^{2}-20x+12=0$$

ลบ 12 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$25x^{2}-20x+12-12=-12$$

ลบ 12 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$25x^{2}-20x=-12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 25

$$\frac{25x^{2}-20x}{25}=-\frac{12}{25}$$

หารด้วย 25 เลิกทำการคูณด้วย 25

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{25}\right)x=-\frac{12}{25}$$

ทำเศษส่วน \frac{-20}{25} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 5

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-\frac{12}{25}$$

หาร -\frac{4}{5} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{2}{5} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{2}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{12}{25}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{2}{5} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{-12+4}{25}$$

เพิ่ม -\frac{12}{25} ไปยัง \frac{4}{25} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{8}{25}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{8}{25}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{8}{25}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{2}{5}=\frac{2\sqrt{2}i}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{2\sqrt{2}i}{5}$$

เพิ่ม \frac{2}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{2+2\sqrt{2}i}{5} x=\frac{-2\sqrt{2}i+2}{5}$$