แก้โจทย์ 25x^2-90x+87=0

$$25 { x }^{ 2 } -90x+87=0$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{9+\sqrt{6}i}{5}\approx 1.8+0.489897949i$$

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+9}{5}\approx 1.8-0.489897949i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$25x^{2}-90x+87=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 25 แทน a, -90 แทน b และ 87 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 25\times 87}}{2\times 25}$$

ยกกำลังสอง -90

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 25\times 87}}{2\times 25}$$

คูณ -4 ด้วย 25

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-100\times 87}}{2\times 25}$$

คูณ -100 ด้วย 87

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-8700}}{2\times 25}$$

เพิ่ม 8100 ไปยัง -8700

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{-600}}{2\times 25}$$

หารากที่สองของ -600

$$x=\frac{-\left(-90\right)±10\sqrt{6}i}{2\times 25}$$

ตรงข้ามกับ -90 คือ 90

$$x=\frac{90±10\sqrt{6}i}{2\times 25}$$

คูณ 2 ด้วย 25

$$x=\frac{90±10\sqrt{6}i}{50}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{90±10\sqrt{6}i}{50} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 90 ไปยัง 10i\sqrt{6}

$$x=\frac{90+10\sqrt{6}i}{50}$$

หาร 90+10i\sqrt{6} ด้วย 50

$$x=\frac{9+\sqrt{6}i}{5}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{90±10\sqrt{6}i}{50} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 10i\sqrt{6} จาก 90

$$x=\frac{-10\sqrt{6}i+90}{50}$$

หาร 90-10i\sqrt{6} ด้วย 50

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+9}{5}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{9+\sqrt{6}i}{5} x=\frac{-\sqrt{6}i+9}{5}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$25x^{2}-90x+87=0$$

ลบ 87 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$25x^{2}-90x+87-87=-87$$

ลบ 87 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$25x^{2}-90x=-87$$

หารทั้งสองข้างด้วย 25

$$\frac{25x^{2}-90x}{25}=-\frac{87}{25}$$

หารด้วย 25 เลิกทำการคูณด้วย 25

$$x^{2}+\left(-\frac{90}{25}\right)x=-\frac{87}{25}$$

ทำเศษส่วน \frac{-90}{25} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 5

$$x^{2}-\frac{18}{5}x=-\frac{87}{25}$$

หาร -\frac{18}{5} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{9}{5} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{9}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{87}{25}+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{9}{5} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{-87+81}{25}$$

เพิ่ม -\frac{87}{25} ไปยัง \frac{81}{25} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=-\frac{6}{25}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{6}{25}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{6}{25}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{9}{5}=\frac{\sqrt{6}i}{5} x-\frac{9}{5}=-\frac{\sqrt{6}i}{5}$$

เพิ่ม \frac{9}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{9+\sqrt{6}i}{5} x=\frac{-\sqrt{6}i+9}{5}$$