แก้โจทย์ 25left(4+xright)^2+7(5-x)(5+x)=295-45x^2

$$25 { \left(4+x \right) }^{ 2 } +7(5-x)(5+x)=295-45 { x }^{ 2 }$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}\approx -1.587301587+1.387414183i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}\approx -1.587301587-1.387414183i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(4+x\right)^{2}

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 25 ด้วย 16+8x+x^{2}

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 7 ด้วย 5-x

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 35-7x ด้วย 5+x และรวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

เพิ่ม 400 และ 175 เพื่อให้ได้รับ 575

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

รวม 25x^{2} และ -7x^{2} เพื่อให้ได้รับ 18x^{2}

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

ลบ 295 จากทั้งสองด้าน

$$575+200x+18x^{2}-295=-45x^{2}$$

ลบ 295 จาก 575 เพื่อรับ 280

$$280+200x+18x^{2}=-45x^{2}$$

เพิ่ม 45x^{2} ไปทั้งสองด้าน

$$280+200x+18x^{2}+45x^{2}=0$$

รวม 18x^{2} และ 45x^{2} เพื่อให้ได้รับ 63x^{2}

$$280+200x+63x^{2}=0$$

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$63x^{2}+200x+280=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 63 แทน a, 200 แทน b และ 280 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-200±\sqrt{200^{2}-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

ยกกำลังสอง 200

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

คูณ -4 ด้วย 63

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-252\times 280}}{2\times 63}$$

คูณ -252 ด้วย 280

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-70560}}{2\times 63}$$

เพิ่ม 40000 ไปยัง -70560

$$x=\frac{-200±\sqrt{-30560}}{2\times 63}$$

หารากที่สองของ -30560

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{2\times 63}$$

คูณ 2 ด้วย 63

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -200 ไปยัง 4i\sqrt{1910}

$$x=\frac{-200+4\sqrt{1910}i}{126}$$

หาร -200+4i\sqrt{1910} ด้วย 126

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 4i\sqrt{1910} จาก -200

$$x=\frac{-4\sqrt{1910}i-200}{126}$$

หาร -200-4i\sqrt{1910} ด้วย 126

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(4+x\right)^{2}

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 25 ด้วย 16+8x+x^{2}

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 7 ด้วย 5-x

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 35-7x ด้วย 5+x และรวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

เพิ่ม 400 และ 175 เพื่อให้ได้รับ 575

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

รวม 25x^{2} และ -7x^{2} เพื่อให้ได้รับ 18x^{2}

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

เพิ่ม 45x^{2} ไปทั้งสองด้าน

$$575+200x+18x^{2}+45x^{2}=295$$

รวม 18x^{2} และ 45x^{2} เพื่อให้ได้รับ 63x^{2}

$$575+200x+63x^{2}=295$$

ลบ 575 จากทั้งสองด้าน

$$200x+63x^{2}=295-575$$

ลบ 575 จาก 295 เพื่อรับ -280

$$200x+63x^{2}=-280$$

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$63x^{2}+200x=-280$$

หารทั้งสองข้างด้วย 63

$$\frac{63x^{2}+200x}{63}=-\frac{280}{63}$$

หารด้วย 63 เลิกทำการคูณด้วย 63

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{280}{63}$$

ทำเศษส่วน \frac{-280}{63} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 7

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{40}{9}$$

หาร \frac{200}{63} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{100}{63} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{100}{63} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{40}{9}+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{100}{63} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{40}{9}+\frac{10000}{3969}$$

เพิ่ม -\frac{40}{9} ไปยัง \frac{10000}{3969} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{7640}{3969}$$

ตัวประกอบx^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{7640}{3969}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7640}{3969}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{100}{63}=\frac{2\sqrt{1910}i}{63} x+\frac{100}{63}=-\frac{2\sqrt{1910}i}{63}$$

ลบ \frac{100}{63} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$