แก้โจทย์ 24x^2-38x+15=0

$$24 { x }^{ 2 } -38x+15=0$$

หาค่า x

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 24x^{2}+ax+bx+15 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-38 ab=24\times 15=360$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเดียวกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบ a และ b เป็นค่าลบทั้งคู่ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 360

$$-1,-360 -2,-180 -3,-120 -4,-90 -5,-72 -6,-60 -8,-45 -9,-40 -10,-36 -12,-30 -15,-24 -18,-20$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1-360=-361 -2-180=-182 -3-120=-123 -4-90=-94 -5-72=-77 -6-60=-66 -8-45=-53 -9-40=-49 -10-36=-46 -12-30=-42 -15-24=-39 -18-20=-38$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -38

$$a=-20 b=-18$$

เขียน 24x^{2}-38x+15 ใหม่เป็น \left(24x^{2}-20x\right)+\left(-18x+15\right)

$$\left(24x^{2}-20x\right)+\left(-18x+15\right)$$

แยกตัวประกอบ 4x ในกลุ่มแรกและ -3 ใน

$$4x\left(6x-5\right)-3\left(6x-5\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม 6x-5 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(6x-5\right)\left(4x-3\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข 6x-5=0 และ 4x-3=0

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{3}{4}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$24x^{2}-38x+15=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 24 แทน a, -38 แทน b และ 15 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{\left(-38\right)^{2}-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

ยกกำลังสอง -38

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

คูณ -4 ด้วย 24

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-96\times 15}}{2\times 24}$$

คูณ -96 ด้วย 15

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-1440}}{2\times 24}$$

เพิ่ม 1444 ไปยัง -1440

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{4}}{2\times 24}$$

หารากที่สองของ 4

$$x=\frac{-\left(-38\right)±2}{2\times 24}$$

ตรงข้ามกับ -38 คือ 38

$$x=\frac{38±2}{2\times 24}$$

คูณ 2 ด้วย 24

$$x=\frac{38±2}{48}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{38±2}{48} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 38 ไปยัง 2

$$x=\frac{40}{48}$$

ทำเศษส่วน \frac{40}{48} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 8

$$x=\frac{5}{6}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{38±2}{48} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 2 จาก 38

$$x=\frac{36}{48}$$

ทำเศษส่วน \frac{36}{48} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 12

$$x=\frac{3}{4}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{3}{4}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$24x^{2}-38x+15=0$$

ลบ 15 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$24x^{2}-38x+15-15=-15$$

ลบ 15 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$24x^{2}-38x=-15$$

หารทั้งสองข้างด้วย 24

$$\frac{24x^{2}-38x}{24}=-\frac{15}{24}$$

หารด้วย 24 เลิกทำการคูณด้วย 24

$$x^{2}+\left(-\frac{38}{24}\right)x=-\frac{15}{24}$$

ทำเศษส่วน \frac{-38}{24} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$x^{2}-\frac{19}{12}x=-\frac{15}{24}$$

ทำเศษส่วน \frac{-15}{24} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 3

$$x^{2}-\frac{19}{12}x=-\frac{5}{8}$$

หาร -\frac{19}{12} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{19}{24} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{19}{24} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{19}{12}x+\left(-\frac{19}{24}\right)^{2}=-\frac{5}{8}+\left(-\frac{19}{24}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{19}{24} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{19}{12}x+\frac{361}{576}=-\frac{5}{8}+\frac{361}{576}$$

เพิ่ม -\frac{5}{8} ไปยัง \frac{361}{576} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{19}{12}x+\frac{361}{576}=\frac{1}{576}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{19}{12}x+\frac{361}{576} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{19}{24}\right)^{2}=\frac{1}{576}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{576}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{19}{24}=\frac{1}{24} x-\frac{19}{24}=-\frac{1}{24}$$

เพิ่ม \frac{19}{24} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{3}{4}$$