แก้โจทย์ 20p^2+33p+16=6

$$20 p ^ { 2 } + 33 p + 16 = 6$$

หาค่า p

$$p = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1.25$$

$$p=-\frac{2}{5}=-0.4$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

ลบ 6 จากทั้งสองด้าน

$$20p^{2}+33p+16-6=0$$

ลบ 6 จาก 16 เพื่อรับ 10

$$20p^{2}+33p+10=0$$

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 20p^{2}+ap+bp+10 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=33 ab=20\times 10=200$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเดียวกัน เนื่องจาก a+b เป็นบวก a และ b เป็นค่าบวกทั้งคู่ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 200

$$1,200 2,100 4,50 5,40 8,25 10,20$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1+200=201 2+100=102 4+50=54 5+40=45 8+25=33 10+20=30$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม 33

$$a=8 b=25$$

เขียน 20p^{2}+33p+10 ใหม่เป็น \left(20p^{2}+8p\right)+\left(25p+10\right)

$$\left(20p^{2}+8p\right)+\left(25p+10\right)$$

แยกตัวประกอบ 4p ในกลุ่มแรกและ 5 ใน

$$4p\left(5p+2\right)+5\left(5p+2\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม 5p+2 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(5p+2\right)\left(4p+5\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข 5p+2=0 และ 4p+5=0

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$20p^{2}+33p+16=6$$

ลบ 6 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$20p^{2}+33p+16-6=6-6$$

ลบ 6 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$20p^{2}+33p+16-6=0$$

ลบ 6 จาก 16

$$20p^{2}+33p+10=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 20 แทน a, 33 แทน b และ 10 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$p=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 20\times 10}}{2\times 20}$$

ยกกำลังสอง 33

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 20\times 10}}{2\times 20}$$

คูณ -4 ด้วย 20

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-80\times 10}}{2\times 20}$$

คูณ -80 ด้วย 10

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-800}}{2\times 20}$$

เพิ่ม 1089 ไปยัง -800

$$p=\frac{-33±\sqrt{289}}{2\times 20}$$

หารากที่สองของ 289

$$p=\frac{-33±17}{2\times 20}$$

คูณ 2 ด้วย 20

$$p=\frac{-33±17}{40}$$

ตอนนี้ แก้สมการ p=\frac{-33±17}{40} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -33 ไปยัง 17

$$p=-\frac{16}{40}$$

ทำเศษส่วน \frac{-16}{40} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 8

$$p=-\frac{2}{5}$$

ตอนนี้ แก้สมการ p=\frac{-33±17}{40} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 17 จาก -33

$$p=-\frac{50}{40}$$

ทำเศษส่วน \frac{-50}{40} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 10

$$p=-\frac{5}{4}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$20p^{2}+33p+16=6$$

ลบ 16 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$20p^{2}+33p+16-16=6-16$$

ลบ 16 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$20p^{2}+33p=6-16$$

ลบ 16 จาก 6

$$20p^{2}+33p=-10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 20

$$\frac{20p^{2}+33p}{20}=-\frac{10}{20}$$

หารด้วย 20 เลิกทำการคูณด้วย 20

$$p^{2}+\frac{33}{20}p=-\frac{10}{20}$$

ทำเศษส่วน \frac{-10}{20} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 10

$$p^{2}+\frac{33}{20}p=-\frac{1}{2}$$

หาร \frac{33}{20} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{33}{40} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{33}{40} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\left(\frac{33}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{33}{40}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{33}{40} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}=-\frac{1}{2}+\frac{1089}{1600}$$

เพิ่ม -\frac{1}{2} ไปยัง \frac{1089}{1600} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}=\frac{289}{1600}$$

ตัวประกอบp^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(p+\frac{33}{40}\right)^{2}=\frac{289}{1600}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(p+\frac{33}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{1600}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$p+\frac{33}{40}=\frac{17}{40} p+\frac{33}{40}=-\frac{17}{40}$$

ลบ \frac{33}{40} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$