แก้โจทย์ 2x-y=2text{and}x+3y=29

$$2 x - y = 2 \text { and } x + 3 y = 29$$

หาค่า x, y

$$x=5$$

$$y=8$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x-y=2,x+3y=29$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-y=2$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=y+2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(y+2\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย y+2

$$x=\frac{1}{2}y+1$$

ทดแทน \frac{y}{2}+1 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x+3y=29

$$\frac{1}{2}y+1+3y=29$$

เพิ่ม \frac{y}{2} ไปยัง 3y

$$\frac{7}{2}y+1=29$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{7}{2}y=28$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{7}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=8$$

ทดแทน 8 สำหรับ y ใน x=\frac{1}{2}y+1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{2}\times 8+1$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 8

$$x=4+1$$

เพิ่ม 1 ไปยัง 4

$$x=5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=5,y=8$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x-y=2,x+3y=29$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\29\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-1\\1&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\29\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\29\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\29\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2\times 3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2\times 3-\left(-1\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\29\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\29\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 2+\frac{1}{7}\times 29\\-\frac{1}{7}\times 2+\frac{2}{7}\times 29\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=5,y=8$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x-y=2,x+3y=29$$

เพื่อทำให้ 2x และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$2x-y=2,2x+2\times 3y=2\times 29$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2x-y=2,2x+6y=58$$

ลบ 2x+6y=58 จาก 2x-y=2 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-2x-y-6y=2-58$$

เพิ่ม 2x ไปยัง -2x ตัดพจน์ 2x และ -2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-y-6y=2-58$$

เพิ่ม -y ไปยัง -6y

$$-7y=2-58$$

เพิ่ม 2 ไปยัง -58

$$-7y=-56$$

หารทั้งสองข้างด้วย -7

$$y=8$$

ทดแทน 8 สำหรับ y ใน x+3y=29 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x+3\times 8=29$$

คูณ 3 ด้วย 8

$$x+24=29$$

ลบ 24 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=5,y=8$$