แก้โจทย์ 2x-3y=12;3x+4y=1

$$2 x - 3 y = 12 ; 3 x + 4 y = 1$$

หาค่า x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x-3y=12,3x+4y=1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-3y=12$$

เพิ่ม 3y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=3y+12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+12\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 12+3y

$$x=\frac{3}{2}y+6$$

ทดแทน \frac{3y}{2}+6 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+4y=1

$$3\left(\frac{3}{2}y+6\right)+4y=1$$

คูณ 3 ด้วย \frac{3y}{2}+6

$$\frac{9}{2}y+18+4y=1$$

เพิ่ม \frac{9y}{2} ไปยัง 4y

$$\frac{17}{2}y+18=1$$

ลบ 18 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{17}{2}y=-17$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{17}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ y ใน x=\frac{3}{2}y+6 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{3}{2}\left(-2\right)+6$$

คูณ \frac{3}{2} ด้วย -2

$$x=-3+6$$

เพิ่ม 6 ไปยัง -3

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=-2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x-3y=12,3x+4y=1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 4-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 4-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 4-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}&\frac{3}{17}\\-\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\times 12+\frac{3}{17}\\-\frac{3}{17}\times 12+\frac{2}{17}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=3,y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x-3y=12,3x+4y=1$$

เพื่อทำให้ 2x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 12,2\times 3x+2\times 4y=2$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x-9y=36,6x+8y=2$$

ลบ 6x+8y=2 จาก 6x-9y=36 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x-9y-8y=36-2$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-9y-8y=36-2$$

เพิ่ม -9y ไปยัง -8y

$$-17y=36-2$$

เพิ่ม 36 ไปยัง -2

$$-17y=34$$

หารทั้งสองข้างด้วย -17

$$y=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ y ใน 3x+4y=1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x+4\left(-2\right)=1$$

คูณ 4 ด้วย -2

$$3x-8=1$$

เพิ่ม 8 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=9$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=-2$$