แก้โจทย์ 2x-3y=-1text{and}y=x-1

$$2 x - 3 y = - 1 \text { and } y = x - 1$$

หาค่า x, y

$$x=4$$

$$y=3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$y-x=-1$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x-3y=-1,-x+y=-1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-3y=-1$$

เพิ่ม 3y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=3y-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-1\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 3y-1

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}$$

ทดแทน \frac{3y-1}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -x+y=-1

$$-\left(\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}\right)+y=-1$$

คูณ -1 ด้วย \frac{3y-1}{2}

$$-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}+y=-1$$

เพิ่ม -\frac{3y}{2} ไปยัง y

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=-1$$

ลบ \frac{1}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{3}{2}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -2

$$y=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ y ใน x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{3}{2}\times 3-\frac{1}{2}$$

คูณ \frac{3}{2} ด้วย 3

$$x=\frac{9-1}{2}$$

เพิ่ม -\frac{1}{2} ไปยัง \frac{9}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$y-x=-1$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x-3y=-1,-x+y=-1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-1\right)-3\left(-1\right)\\-\left(-1\right)-2\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=4,y=3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$y-x=-1$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x-3y=-1,-x+y=-1$$

เพื่อทำให้ 2x และ -x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$-2x-\left(-3y\right)=-\left(-1\right),2\left(-1\right)x+2y=2\left(-1\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-2x+3y=1,-2x+2y=-2$$

ลบ -2x+2y=-2 จาก -2x+3y=1 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-2x+2x+3y-2y=1+2$$

เพิ่ม -2x ไปยัง 2x ตัดพจน์ -2x และ 2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$3y-2y=1+2$$

เพิ่ม 3y ไปยัง -2y

$$y=1+2$$

เพิ่ม 1 ไปยัง 2

$$y=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ y ใน -x+y=-1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-x+3=-1$$

ลบ 3 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-x=-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=3$$