แก้โจทย์ 2x-3y+5=0,4x+ky-2=0

$$2 x - 3 y + 5 = 0,4 x + k y - 2 = 0$$

หาค่า x, y

$$x=-\frac{5k-6}{2\left(k+6\right)}$$

$$y=\frac{12}{k+6}$$

$$k\neq -6$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x-3y+5=0,4x+ky-2=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-3y+5=0$$

ลบ 5 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x-3y=-5$$

เพิ่ม 3y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=3y-5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-5\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 3y-5

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

ทดแทน \frac{3y-5}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x+ky-2=0

$$4\left(\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)+ky-2=0$$

คูณ 4 ด้วย \frac{3y-5}{2}

$$6y-10+ky-2=0$$

เพิ่ม 6y ไปยัง ky

$$\left(k+6\right)y-10-2=0$$

เพิ่ม -10 ไปยัง -2

$$\left(k+6\right)y-12=0$$

เพิ่ม 12 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(k+6\right)y=12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6+k

$$y=\frac{12}{k+6}$$

ทดแทน \frac{12}{6+k} สำหรับ y ใน x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{12}{k+6}-\frac{5}{2}$$

คูณ \frac{3}{2} ด้วย \frac{12}{6+k}

$$x=\frac{18}{k+6}-\frac{5}{2}$$

เพิ่ม -\frac{5}{2} ไปยัง \frac{18}{6+k}

$$x=\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)},y=\frac{12}{k+6}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x-3y+5=0,4x+ky-2=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{2k-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2k-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2k-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2k-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{2\left(k+6\right)}&\frac{3}{2\left(k+6\right)}\\-\frac{2}{k+6}&\frac{1}{k+6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{2\left(k+6\right)}\left(-5\right)+\frac{3}{2\left(k+6\right)}\times 2\\\left(-\frac{2}{k+6}\right)\left(-5\right)+\frac{1}{k+6}\times 2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)}\\\frac{12}{k+6}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)},y=\frac{12}{k+6}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x-3y+5=0,4x+ky-2=0$$

เพื่อทำให้ 2x และ 4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y+4\times 5=0,2\times 4x+2ky+2\left(-2\right)=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$8x-12y+20=0,8x+2ky-4=0$$

ลบ 8x+2ky-4=0 จาก 8x-12y+20=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$8x-8x-12y+\left(-2k\right)y+20+4=0$$

เพิ่ม 8x ไปยัง -8x ตัดพจน์ 8x และ -8x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-12y+\left(-2k\right)y+20+4=0$$

เพิ่ม -12y ไปยัง -2ky

$$\left(-2k-12\right)y+20+4=0$$

เพิ่ม 20 ไปยัง 4

$$\left(-2k-12\right)y+24=0$$

ลบ 24 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(-2k-12\right)y=-24$$

หารทั้งสองข้างด้วย -12-2k

$$y=\frac{12}{k+6}$$

ทดแทน \frac{12}{6+k} สำหรับ y ใน 4x+ky-2=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$4x+k\times \frac{12}{k+6}-2=0$$

คูณ k ด้วย \frac{12}{6+k}

$$4x+\frac{12k}{k+6}-2=0$$

เพิ่ม \frac{12k}{6+k} ไปยัง -2

$$4x+\frac{2\left(5k-6\right)}{k+6}=0$$

ลบ \frac{2\left(5k-6\right)}{6+k} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=-\frac{2\left(5k-6\right)}{k+6}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=-\frac{5k-6}{2\left(k+6\right)}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{5k-6}{2\left(k+6\right)},y=\frac{12}{k+6}$$