แก้โจทย์ 2x^2-x-15=0

$$2 x ^ { 2 } - x - 15 = 0$$

หาค่า x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=3$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 2x^{2}+ax+bx-15 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-1 ab=2\left(-15\right)=-30$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบตัวเลขค่าลบมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจำนวนบวก แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -30

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -1

$$a=-6 b=5$$

เขียน 2x^{2}-x-15 ใหม่เป็น \left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right)

$$\left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right)$$

แยกตัวประกอบ 2x ในกลุ่มแรกและ 5 ใน

$$2x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม x-3 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข x-3=0 และ 2x+5=0

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$2x^{2}-x-15=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 2 แทน a, -1 แทน b และ -15 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

คูณ -4 ด้วย 2

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

คูณ -8 ด้วย -15

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+120}}{2\times 2}$$

เพิ่ม 1 ไปยัง 120

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

หารากที่สองของ 121

$$x=\frac{-\left(-1\right)±11}{2\times 2}$$

ตรงข้ามกับ -1 คือ 1

$$x=\frac{1±11}{2\times 2}$$

คูณ 2 ด้วย 2

$$x=\frac{1±11}{4}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{1±11}{4} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 1 ไปยัง 11

$$x=\frac{12}{4}$$

หาร 12 ด้วย 4

$$x=3$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{1±11}{4} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 11 จาก 1

$$x=-\frac{10}{4}$$

ทำเศษส่วน \frac{-10}{4} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$x=-\frac{5}{2}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$2x^{2}-x-15=0$$

เพิ่ม 15 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x^{2}-x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

ลบ -15 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$2x^{2}-x=-\left(-15\right)$$

ลบ -15 จาก 0

$$2x^{2}-x=15$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$\frac{2x^{2}-x}{2}=\frac{15}{2}$$

หารด้วย 2 เลิกทำการคูณด้วย 2

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{15}{2}$$

หาร -\frac{1}{2} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{1}{4} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{1}{4} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{1}{4} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{15}{2}+\frac{1}{16}$$

เพิ่ม \frac{15}{2} ไปยัง \frac{1}{16} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{121}{16}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{1}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{11}{4}$$

เพิ่ม \frac{1}{4} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$