แก้โจทย์ 2x^2-5x+2xsqrt{x^2-5x+6}=3

$$2 x ^ { 2 } - 5 x + 2 x \sqrt { x ^ { 2 } - 5 x + 6 } = 3$$

หาค่า x

$$x=3$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ลบ 2x^{2}-5x จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x\sqrt{x^{2}-5x+6}=3-\left(2x^{2}-5x\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ 2x^{2}-5x ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$2x\sqrt{x^{2}-5x+6}=3-2x^{2}+5x$$

ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(2x\sqrt{x^{2}-5x+6}\right)^{2}=\left(3-2x^{2}+5x\right)^{2}$$

ขยาย \left(2x\sqrt{x^{2}-5x+6}\right)^{2}

$$2^{2}x^{2}\left(\sqrt{x^{2}-5x+6}\right)^{2}=\left(3-2x^{2}+5x\right)^{2}$$

คำนวณ 2 กำลังของ 2 และรับ 4

$$4x^{2}\left(\sqrt{x^{2}-5x+6}\right)^{2}=\left(3-2x^{2}+5x\right)^{2}$$

คำนวณ \sqrt{x^{2}-5x+6} กำลังของ 2 และรับ x^{2}-5x+6

$$4x^{2}\left(x^{2}-5x+6\right)=\left(3-2x^{2}+5x\right)^{2}$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4x^{2} ด้วย x^{2}-5x+6

$$4x^{4}-20x^{3}+24x^{2}=\left(3-2x^{2}+5x\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง 3-2x^{2}+5x

$$4x^{4}-20x^{3}+24x^{2}=4x^{4}-20x^{3}+13x^{2}+30x+9$$

ลบ 4x^{4} จากทั้งสองด้าน

$$4x^{4}-20x^{3}+24x^{2}-4x^{4}=-20x^{3}+13x^{2}+30x+9$$

รวม 4x^{4} และ -4x^{4} เพื่อให้ได้รับ 0

$$-20x^{3}+24x^{2}=-20x^{3}+13x^{2}+30x+9$$

เพิ่ม 20x^{3} ไปทั้งสองด้าน

$$-20x^{3}+24x^{2}+20x^{3}=13x^{2}+30x+9$$

รวม -20x^{3} และ 20x^{3} เพื่อให้ได้รับ 0

$$24x^{2}=13x^{2}+30x+9$$

ลบ 13x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$24x^{2}-13x^{2}=30x+9$$

รวม 24x^{2} และ -13x^{2} เพื่อให้ได้รับ 11x^{2}

$$11x^{2}=30x+9$$

ลบ 30x จากทั้งสองด้าน

$$11x^{2}-30x=9$$

ลบ 9 จากทั้งสองด้าน

$$11x^{2}-30x-9=0$$

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 11x^{2}+ax+bx-9 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-30 ab=11\left(-9\right)=-99$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบตัวเลขค่าลบมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจำนวนบวก แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -99

$$1,-99 3,-33 9,-11$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1-99=-98 3-33=-30 9-11=-2$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -30

$$a=-33 b=3$$

เขียน 11x^{2}-30x-9 ใหม่เป็น \left(11x^{2}-33x\right)+\left(3x-9\right)

$$\left(11x^{2}-33x\right)+\left(3x-9\right)$$

แยกตัวประกอบ 11x ในกลุ่มแรกและ 3 ใน

$$11x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม x-3 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(x-3\right)\left(11x+3\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข x-3=0 และ 11x+3=0

$$x=3 x=-\frac{3}{11}$$

ทดแทน 3 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x^{2}-5x+2x\sqrt{x^{2}-5x+6}=3

$$2\times 3^{2}-5\times 3+2\times 3\sqrt{3^{2}-5\times 3+6}=3$$

ทำให้ง่ายขึ้น ค่า x=3 ตรงตามสมการ

$$3=3$$

ทดแทน -\frac{3}{11} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x^{2}-5x+2x\sqrt{x^{2}-5x+6}=3

$$2\left(-\frac{3}{11}\right)^{2}-5\left(-\frac{3}{11}\right)+2\left(-\frac{3}{11}\right)\sqrt{\left(-\frac{3}{11}\right)^{2}-5\left(-\frac{3}{11}\right)+6}=3$$

ทำให้ง่ายขึ้น ค่า x=-\frac{3}{11} ไม่ตรงกับสมการ

$$\frac{3}{121}=3$$

สมการ 2x\sqrt{x^{2}-5x+6}=3+5x-2x^{2} มีวิธีแก้ที่ไม่ซ้ำกัน

$$x=3$$