แก้โจทย์ 2x^2-4x+1<0

$$2 x ^ { 2 } - 4 x + 1 < 0$$

หาค่า x

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

เมื่อต้องการแก้อสมการ ให้แยกตัวประกอบด้านซ้ายมือ สมการพหุนามกำลังสองสามารถแยกตัวประกอบโดยใช้การแปลง ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) ที่ x_{1} และ x_{2} เป็นผลเฉลยของสมการกำลังสอง ax^{2}+bx+c=0

$$2x^{2}-4x+1=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 2 สำหรับ a -4 สำหรับ b และ 1 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 2\times 1}}{2\times 2}$$

ทำการคำนวณ

$$x=\frac{4±2\sqrt{2}}{4}$$

แก้สมการ x=\frac{4±2\sqrt{2}}{4} เมื่อ ± เป็นบวก และเมื่อ ± เป็นลบ

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

เขียนอสมการใหม่โดยใช้ผลเฉลยที่ได้

$$2\left(x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)<0$$

เพื่อให้ผลคูณเป็นค่าลบ x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) และ x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) ต้องเป็นเครื่องหมายตรงกันข้าม พิจารณากรณีเมื่อ x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) เป็นค่าบวก และ x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) เป็นค่าลบ

$$x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)>0 x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)<0$$

เป็นเท็จสำหรับ x ใดๆ

$$x\in \emptyset$$

พิจารณากรณีเมื่อ x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) เป็นค่าบวก และ x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) เป็นค่าลบ

$$x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)>0 x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)<0$$

ผลเฉลยที่แก้ไขอสมการทั้งสองคือ x\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)$$

ผลเฉลยสุดท้ายคือการรวมผลเฉลยที่ได้

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)$$