แก้โจทย์ 2x^2-2x-1=0

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

หาค่า x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1.366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0.366025404$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$2x^{2}-2x-1=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 2 แทน a, -2 แทน b และ -1 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

ยกกำลังสอง -2

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

คูณ -4 ด้วย 2

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

คูณ -8 ด้วย -1

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

เพิ่ม 4 ไปยัง 8

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

หารากที่สองของ 12

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

ตรงข้ามกับ -2 คือ 2

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

คูณ 2 ด้วย 2

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 2 ไปยัง 2\sqrt{3}

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}$$

หาร 2+2\sqrt{3} ด้วย 4

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 2\sqrt{3} จาก 2

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}$$

หาร 2-2\sqrt{3} ด้วย 4

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$2x^{2}-2x-1=0$$

เพิ่ม 1 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

ลบ -1 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$2x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

ลบ -1 จาก 0

$$2x^{2}-2x=1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{1}{2}$$

หารด้วย 2 เลิกทำการคูณด้วย 2

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{1}{2}$$

หาร -2 ด้วย 2

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

หาร -1 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{1}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{1}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{1}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

เพิ่ม \frac{1}{2} ไปยัง \frac{1}{4} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

ตัวประกอบx^{2}-x+\frac{1}{4} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

เพิ่ม \frac{1}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$