แก้โจทย์ 2x^2+2x+1=0

$$2 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i=-0.5+0.5i$$

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i=-0.5-0.5i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$2x^{2}+2x+1=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 2 แทน a, 2 แทน b และ 1 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2}}{2\times 2}$$

ยกกำลังสอง 2

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2}}{2\times 2}$$

คูณ -4 ด้วย 2

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8}}{2\times 2}$$

เพิ่ม 4 ไปยัง -8

$$x=\frac{-2±\sqrt{-4}}{2\times 2}$$

หารากที่สองของ -4

$$x=\frac{-2±2i}{2\times 2}$$

คูณ 2 ด้วย 2

$$x=\frac{-2±2i}{4}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-2±2i}{4} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -2 ไปยัง 2i

$$x=\frac{-2+2i}{4}$$

หาร -2+2i ด้วย 4

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-2±2i}{4} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 2i จาก -2

$$x=\frac{-2-2i}{4}$$

หาร -2-2i ด้วย 4

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$2x^{2}+2x+1=0$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x^{2}+2x+1-1=-1$$

ลบ 1 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$2x^{2}+2x=-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=-\frac{1}{2}$$

หารด้วย 2 เลิกทำการคูณด้วย 2

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=-\frac{1}{2}$$

หาร 2 ด้วย 2

$$x^{2}+x=-\frac{1}{2}$$

หาร 1 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{1}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{1}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{1}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

เพิ่ม -\frac{1}{2} ไปยัง \frac{1}{4} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$$

ตัวประกอบx^{2}+x+\frac{1}{4} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{4}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}i x+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}i$$

ลบ \frac{1}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$