แก้โจทย์ 2n^2-7n-345=0

$$2 n ^ { 2 } - 7 n - 345 = 0$$

หาค่า n

$$n = -\frac{23}{2} = -11\frac{1}{2} = -11.5$$

$$n=15$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 2n^{2}+an+bn-345 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-7 ab=2\left(-345\right)=-690$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบตัวเลขค่าลบมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจำนวนบวก แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -690

$$1,-690 2,-345 3,-230 5,-138 6,-115 10,-69 15,-46 23,-30$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1-690=-689 2-345=-343 3-230=-227 5-138=-133 6-115=-109 10-69=-59 15-46=-31 23-30=-7$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -7

$$a=-30 b=23$$

เขียน 2n^{2}-7n-345 ใหม่เป็น \left(2n^{2}-30n\right)+\left(23n-345\right)

$$\left(2n^{2}-30n\right)+\left(23n-345\right)$$

แยกตัวประกอบ 2n ในกลุ่มแรกและ 23 ใน

$$2n\left(n-15\right)+23\left(n-15\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม n-15 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(n-15\right)\left(2n+23\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข n-15=0 และ 2n+23=0

$$n=15 n=-\frac{23}{2}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$2n^{2}-7n-345=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 2 แทน a, -7 แทน b และ -345 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\left(-345\right)}}{2\times 2}$$

ยกกำลังสอง -7

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 2\left(-345\right)}}{2\times 2}$$

คูณ -4 ด้วย 2

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-8\left(-345\right)}}{2\times 2}$$

คูณ -8 ด้วย -345

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+2760}}{2\times 2}$$

เพิ่ม 49 ไปยัง 2760

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{2809}}{2\times 2}$$

หารากที่สองของ 2809

$$n=\frac{-\left(-7\right)±53}{2\times 2}$$

ตรงข้ามกับ -7 คือ 7

$$n=\frac{7±53}{2\times 2}$$

คูณ 2 ด้วย 2

$$n=\frac{7±53}{4}$$

ตอนนี้ แก้สมการ n=\frac{7±53}{4} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 7 ไปยัง 53

$$n=\frac{60}{4}$$

หาร 60 ด้วย 4

$$n=15$$

ตอนนี้ แก้สมการ n=\frac{7±53}{4} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 53 จาก 7

$$n=-\frac{46}{4}$$

ทำเศษส่วน \frac{-46}{4} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$n=-\frac{23}{2}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$n=15 n=-\frac{23}{2}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$2n^{2}-7n-345=0$$

เพิ่ม 345 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2n^{2}-7n-345-\left(-345\right)=-\left(-345\right)$$

ลบ -345 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$2n^{2}-7n=-\left(-345\right)$$

ลบ -345 จาก 0

$$2n^{2}-7n=345$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$\frac{2n^{2}-7n}{2}=\frac{345}{2}$$

หารด้วย 2 เลิกทำการคูณด้วย 2

$$n^{2}-\frac{7}{2}n=\frac{345}{2}$$

หาร -\frac{7}{2} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{7}{4} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{7}{4} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$n^{2}-\frac{7}{2}n+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{345}{2}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{7}{4} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$n^{2}-\frac{7}{2}n+\frac{49}{16}=\frac{345}{2}+\frac{49}{16}$$

เพิ่ม \frac{345}{2} ไปยัง \frac{49}{16} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$n^{2}-\frac{7}{2}n+\frac{49}{16}=\frac{2809}{16}$$

ตัวประกอบn^{2}-\frac{7}{2}n+\frac{49}{16} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(n-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{2809}{16}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2809}{16}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$n-\frac{7}{4}=\frac{53}{4} n-\frac{7}{4}=-\frac{53}{4}$$

เพิ่ม \frac{7}{4} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$n=15 n=-\frac{23}{2}$$