แก้โจทย์ 2k^2+9k=-7

$$2 k ^ { 2 } + 9 k = - 7$$

หาค่า k

$$k = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$k=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เพิ่ม 7 ไปทั้งสองด้าน

$$2k^{2}+9k+7=0$$

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 2k^{2}+ak+bk+7 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=9 ab=2\times 7=14$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเดียวกัน เนื่องจาก a+b เป็นบวก a และ b เป็นค่าบวกทั้งคู่ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 14

$$1,14 2,7$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1+14=15 2+7=9$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม 9

$$a=2 b=7$$

เขียน 2k^{2}+9k+7 ใหม่เป็น \left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right)

$$\left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right)$$

แยกตัวประกอบ 2k ในกลุ่มแรกและ 7 ใน

$$2k\left(k+1\right)+7\left(k+1\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม k+1 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(k+1\right)\left(2k+7\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข k+1=0 และ 2k+7=0

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$2k^{2}+9k=-7$$

เพิ่ม 7 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

ลบ -7 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=0$$

ลบ -7 จาก 0

$$2k^{2}+9k+7=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 2 แทน a, 9 แทน b และ 7 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

ยกกำลังสอง 9

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

คูณ -4 ด้วย 2

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 7}}{2\times 2}$$

คูณ -8 ด้วย 7

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\times 2}$$

เพิ่ม 81 ไปยัง -56

$$k=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

หารากที่สองของ 25

$$k=\frac{-9±5}{2\times 2}$$

คูณ 2 ด้วย 2

$$k=\frac{-9±5}{4}$$

ตอนนี้ แก้สมการ k=\frac{-9±5}{4} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -9 ไปยัง 5

$$k=-\frac{4}{4}$$

หาร -4 ด้วย 4

$$k=-1$$

ตอนนี้ แก้สมการ k=\frac{-9±5}{4} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 5 จาก -9

$$k=-\frac{14}{4}$$

ทำเศษส่วน \frac{-14}{4} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$k=-\frac{7}{2}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$2k^{2}+9k=-7$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$\frac{2k^{2}+9k}{2}=-\frac{7}{2}$$

หารด้วย 2 เลิกทำการคูณด้วย 2

$$k^{2}+\frac{9}{2}k=-\frac{7}{2}$$

หาร \frac{9}{2} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{9}{4} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{9}{4} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{9}{4} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{81}{16}$$

เพิ่ม -\frac{7}{2} ไปยัง \frac{81}{16} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=\frac{25}{16}$$

ตัวประกอบk^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$k+\frac{9}{4}=\frac{5}{4} k+\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$$

ลบ \frac{9}{4} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$