แก้โจทย์ 2+1/1-frac{1{x+1}}

$$2 + \frac { 1 } { 1 - \frac { 1 } { x + 1 } }$$

หาค่า

$$3+\frac{1}{x}$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลยสั้นๆ

เมื่อต้องการเพิ่มหรือลบนิพจน์ ให้ขยายเพื่อทำให้ตัวส่วนของนิพจน์เหล่านั้นเหมือนกัน คูณ 1 ด้วย \frac{x+1}{x+1}

$$2+\frac{1}{\frac{x+1}{x+1}-\frac{1}{x+1}}$$

เนื่องจาก \frac{x+1}{x+1} และ \frac{1}{x+1} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้ลบโดยการลบตัวเศษ

$$2+\frac{1}{\frac{x+1-1}{x+1}}$$

รวมพจน์ที่เหมือนกันใน x+1-1

$$2+\frac{1}{\frac{x}{x+1}}$$

หาร 1 ด้วย \frac{x}{x+1} โดยคูณ 1 ด้วยส่วนกลับของ \frac{x}{x+1}

$$2+\frac{x+1}{x}$$

เมื่อต้องการเพิ่มหรือลบนิพจน์ ให้ขยายเพื่อทำให้ตัวส่วนของนิพจน์เหล่านั้นเหมือนกัน คูณ 2 ด้วย \frac{x}{x}

$$\frac{2x}{x}+\frac{x+1}{x}$$

เนื่องจาก \frac{2x}{x} และ \frac{x+1}{x} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้เพิ่มโดยการบวกตัวเศษ

$$\frac{2x+x+1}{x}$$

รวมพจน์ที่เหมือนกันใน 2x+x+1

$$\frac{3x+1}{x}$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. x

$$-\frac{1}{x^{2}}$$

ขั้นตอนที่ใช้กฎอนุพันธ์หาผลคูณ

เมื่อต้องการเพิ่มหรือลบนิพจน์ ให้ขยายเพื่อทำให้ตัวส่วนของนิพจน์เหล่านั้นเหมือนกัน คูณ 1 ด้วย \frac{x+1}{x+1}

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2+\frac{1}{\frac{x+1}{x+1}-\frac{1}{x+1}})$$

เนื่องจาก \frac{x+1}{x+1} และ \frac{1}{x+1} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้ลบโดยการลบตัวเศษ

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2+\frac{1}{\frac{x+1-1}{x+1}})$$

รวมพจน์ที่เหมือนกันใน x+1-1

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2+\frac{1}{\frac{x}{x+1}})$$

หาร 1 ด้วย \frac{x}{x+1} โดยคูณ 1 ด้วยส่วนกลับของ \frac{x}{x+1}

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2+\frac{x+1}{x})$$

เมื่อต้องการเพิ่มหรือลบนิพจน์ ให้ขยายเพื่อทำให้ตัวส่วนของนิพจน์เหล่านั้นเหมือนกัน คูณ 2 ด้วย \frac{x}{x}

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x}{x}+\frac{x+1}{x})$$

เนื่องจาก \frac{2x}{x} และ \frac{x+1}{x} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้เพิ่มโดยการบวกตัวเศษ

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x+x+1}{x})$$

รวมพจน์ที่เหมือนกันใน 2x+x+1

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3x+1}{x})$$

สำหรับฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้สองฟังก์ชัน อนุพันธ์ของผลคูณของสองฟังก์ชันคือ ฟังก์ชันแรกคูณด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่สอง บวกด้วยฟังก์ชันที่สองคูณด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันแรก

$$\left(3x^{1}+1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{1}{x})+\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(3x^{1}+1)$$

อนุพันธ์ของพหุนามเป็นผลรวมของอนุพันธ์ของพจน์ในพหุนามนั้น อนุพันธ์ของพจน์คงตัวใดๆ คือ 0 อนุพันธ์ของ ax^{n} คือ nax^{n-1}

$$\left(3x^{1}+1\right)\left(-1\right)x^{-1-1}+\frac{1}{x}\times 3x^{1-1}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\left(3x^{1}+1\right)\left(-1\right)x^{-2}+\frac{1}{x}\times 3x^{0}$$

คูณ 3x^{1}+1 ด้วย -x^{-2}

$$3x^{1}\left(-1\right)x^{-2}-x^{-2}+\frac{1}{x}\times 3x^{0}$$

เมื่อต้องการคูณเลขยกกำลังของฐานเดียวกัน เพิ่มเลขชี้กำลังของจำนวนเหล่านั้น

$$-3x^{1-2}-x^{-2}+3\times \frac{1}{x}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-3\times \frac{1}{x}-x^{-2}+3\times \frac{1}{x}$$

ขั้นตอนที่ใช้กฎจากการพัฒนาสำหรับผลหาร

เมื่อต้องการเพิ่มหรือลบนิพจน์ ให้ขยายเพื่อทำให้ตัวส่วนของนิพจน์เหล่านั้นเหมือนกัน คูณ 1 ด้วย \frac{x+1}{x+1}

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2+\frac{1}{\frac{x+1}{x+1}-\frac{1}{x+1}})$$

เนื่องจาก \frac{x+1}{x+1} และ \frac{1}{x+1} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้ลบโดยการลบตัวเศษ

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2+\frac{1}{\frac{x+1-1}{x+1}})$$

รวมพจน์ที่เหมือนกันใน x+1-1

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2+\frac{1}{\frac{x}{x+1}})$$

หาร 1 ด้วย \frac{x}{x+1} โดยคูณ 1 ด้วยส่วนกลับของ \frac{x}{x+1}

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2+\frac{x+1}{x})$$

เมื่อต้องการเพิ่มหรือลบนิพจน์ ให้ขยายเพื่อทำให้ตัวส่วนของนิพจน์เหล่านั้นเหมือนกัน คูณ 2 ด้วย \frac{x}{x}

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x}{x}+\frac{x+1}{x})$$

เนื่องจาก \frac{2x}{x} และ \frac{x+1}{x} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้เพิ่มโดยการบวกตัวเศษ

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x+x+1}{x})$$

รวมพจน์ที่เหมือนกันใน 2x+x+1

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3x+1}{x})$$

สำหรับสองฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ อนุพันธ์ของผลหารของทั้งสองฟังก์ชันคือ ตัวส่วนคูณด้วยอนุพันธ์ของตัวเศษลบด้วยตัวเศษคูณด้วยอนุพันธ์ของตัวส่วน ทั้งหมดถูกหารด้วยตัวส่วนที่ยกกำลังสองแล้ว

$$\frac{x^{1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(3x^{1}+1)-\left(3x^{1}+1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{1})}{\left(x^{1}\right)^{2}}$$

อนุพันธ์ของพหุนามเป็นผลรวมของอนุพันธ์ของพจน์ในพหุนามนั้น อนุพันธ์ของพจน์คงตัวใดๆ คือ 0 อนุพันธ์ของ ax^{n} คือ nax^{n-1}

$$\frac{x^{1}\times 3x^{1-1}-\left(3x^{1}+1\right)x^{1-1}}{\left(x^{1}\right)^{2}}$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\frac{x^{1}\times 3x^{0}-\left(3x^{1}+1\right)x^{0}}{\left(x^{1}\right)^{2}}$$

ขยายโดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\frac{x^{1}\times 3x^{0}-\left(3x^{1}x^{0}+x^{0}\right)}{\left(x^{1}\right)^{2}}$$

เมื่อต้องการคูณเลขยกกำลังของฐานเดียวกัน เพิ่มเลขชี้กำลังของจำนวนเหล่านั้น

$$\frac{3x^{1}-\left(3x^{1}+x^{0}\right)}{\left(x^{1}\right)^{2}}$$

เอาวงเล็บที่ไม่จำเป็นออก

$$\frac{3x^{1}-3x^{1}-x^{0}}{\left(x^{1}\right)^{2}}$$

รวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$\frac{\left(3-3\right)x^{1}-x^{0}}{\left(x^{1}\right)^{2}}$$

ลบ 3 จาก 3

$$-\frac{x^{0}}{\left(x^{1}\right)^{2}}$$

เมื่อต้องการเพิ่มผลคูณของสองจำนวนขึ้นไปไปยังกำลัง ยกกำลังแต่ละจำนวน แล้วหาผลคูณ

$$-\frac{x^{0}}{1^{2}x^{2}}$$

ยก 1 ไปยังกำลัง 2

$$-\frac{x^{0}}{x^{2}}$$

คูณ 1 ด้วย 2

$$\frac{-x^{0}}{x^{2}}$$

เมื่อต้องการหารเลขยกกำลังของฐานเดียวกัน ลบเลขชี้กำลังของตัวส่วนออกจากเลขชี้กำลังของตัวเศษ

$$\left(-\frac{1}{1}\right)x^{-2}$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$-x^{-2}$$