แก้โจทย์ 18x^2-9x-5=0

$$18 { x }^{ 2 } -9x-5 = 0$$

หาค่า x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้ไขสมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ต้องมีการเขียนใหม่ด้านซ้ายมืออีกครั้งเนื่องจาก 18x^{2}+ax+bx-5 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้ไข

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้าม เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบหมายเลขลบมีค่าสัมบูรณ์มากเกินกว่าค่าบวก แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -90

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

ผลเฉลยเป็นคู่ที่ให้ผลรวม -9

$$a=-15 b=6$$

เขียน 18x^{2}-9x-5 ใหม่เป็น \left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)

$$\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)$$

แยกตัวประกอบ 3x ใน 18x^{2}-15x

$$3x\left(6x-5\right)+6x-5$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม 6x-5 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(6x-5\right)\left(3x+1\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาผลเฉลยสมการ ให้แก้ 6x-5=0 และ 3x+1=0

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$18x^{2}-9x-5=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 18 แทน a, -9 แทน b และ -5 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

ยกกำลังสอง -9

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

คูณ -4 ด้วย 18

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

คูณ -72 ด้วย -5

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

เพิ่ม 81 ไปยัง 360

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

หารากที่สองของ 441

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

ตรงข้ามกับ -9 คือ 9

$$x=\frac{9±21}{2\times 18}$$

คูณ 2 ด้วย 18

$$x=\frac{9±21}{36}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{9±21}{36} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 9 ไปยัง 21

$$x=\frac{30}{36}$$

ทำเศษส่วน \frac{30}{36} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 6

$$x=\frac{5}{6}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{9±21}{36} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 21 จาก 9

$$x=-\frac{12}{36}$$

ทำเศษส่วน \frac{-12}{36} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 12

$$x=-\frac{1}{3}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$18x^{2}-9x-5=0$$

เพิ่ม 5 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$18x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

ลบ -5 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$18x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

ลบ -5 จาก 0

$$18x^{2}-9x=5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 18

$$\frac{18x^{2}-9x}{18}=\frac{5}{18}$$

หารด้วย 18 เลิกทำการคูณด้วย 18

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{18}\right)x=\frac{5}{18}$$

ทำเศษส่วน \frac{-9}{18} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 9

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{18}$$

หาร -\frac{1}{2} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{1}{4} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{1}{4} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{18}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{1}{4} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{18}+\frac{1}{16}$$

เพิ่ม \frac{5}{18} ไปยัง \frac{1}{16} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{144}$$

ตัวประกอบ x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} โดยทั่วไป เมื่อ x^{2}+bx+c เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{12}$$

เพิ่ม \frac{1}{4} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$