แก้โจทย์ 16x^2-8x-3=0

$$16 x ^ { 2 } - 8 x - 3 = 0$$

หาค่า x

$$x=-\frac{1}{4}=-0.25$$

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 16x^{2}+ax+bx-3 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-8 ab=16\left(-3\right)=-48$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบตัวเลขค่าลบมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจำนวนบวก แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -48

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -8

$$a=-12 b=4$$

เขียน 16x^{2}-8x-3 ใหม่เป็น \left(16x^{2}-12x\right)+\left(4x-3\right)

$$\left(16x^{2}-12x\right)+\left(4x-3\right)$$

แยกตัวประกอบ 4x ใน 16x^{2}-12x

$$4x\left(4x-3\right)+4x-3$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม 4x-3 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(4x-3\right)\left(4x+1\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข 4x-3=0 และ 4x+1=0

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{4}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$16x^{2}-8x-3=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 16 แทน a, -8 แทน b และ -3 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

ยกกำลังสอง -8

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

คูณ -4 ด้วย 16

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-64\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

คูณ -64 ด้วย -3

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+192}}{2\times 16}$$

เพิ่ม 64 ไปยัง 192

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{256}}{2\times 16}$$

หารากที่สองของ 256

$$x=\frac{-\left(-8\right)±16}{2\times 16}$$

ตรงข้ามกับ -8 คือ 8

$$x=\frac{8±16}{2\times 16}$$

คูณ 2 ด้วย 16

$$x=\frac{8±16}{32}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{8±16}{32} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 8 ไปยัง 16

$$x=\frac{24}{32}$$

ทำเศษส่วน \frac{24}{32} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 8

$$x=\frac{3}{4}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{8±16}{32} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 16 จาก 8

$$x=-\frac{8}{32}$$

ทำเศษส่วน \frac{-8}{32} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 8

$$x=-\frac{1}{4}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{4}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$16x^{2}-8x-3=0$$

เพิ่ม 3 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$16x^{2}-8x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

ลบ -3 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$16x^{2}-8x=-\left(-3\right)$$

ลบ -3 จาก 0

$$16x^{2}-8x=3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 16

$$\frac{16x^{2}-8x}{16}=\frac{3}{16}$$

หารด้วย 16 เลิกทำการคูณด้วย 16

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{16}\right)x=\frac{3}{16}$$

ทำเศษส่วน \frac{-8}{16} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 8

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{3}{16}$$

หาร -\frac{1}{2} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{1}{4} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{1}{4} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{16}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{1}{4} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{3+1}{16}$$

เพิ่ม \frac{3}{16} ไปยัง \frac{1}{16} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{1}{4}=\frac{1}{2} x-\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$$

เพิ่ม \frac{1}{4} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{4}$$