แก้โจทย์ 16x^2+10x-9=0

$$16 x ^ { 2 } + 10 x - 9 = 0$$

หาค่า x

$$x = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8} = -1.125$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้ไขสมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ต้องมีการเขียนใหม่ด้านซ้ายมืออีกครั้งเนื่องจาก 16x^{2}+ax+bx-9 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้ไข

$$a+b=10 ab=16\left(-9\right)=-144$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้าม เนื่องจาก a+b เป็นค่าบวกหมายเลขบวกมีค่าสัมบูรณ์มากเกินกว่าค่าลบ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -144

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

ผลเฉลยเป็นคู่ที่ให้ผลรวม 10

$$a=-8 b=18$$

เขียน 16x^{2}+10x-9 ใหม่เป็น \left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)

$$\left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)$$

แยกตัวประกอบ 8x ในกลุ่มแรกและ 9 ในกลุ่มที่สอง

$$8x\left(2x-1\right)+9\left(2x-1\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม 2x-1 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาผลเฉลยสมการ ให้แก้ 2x-1=0 และ 8x+9=0

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$16x^{2}+10x-9=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 16 แทน a, 10 แทน b และ -9 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

ยกกำลังสอง 10

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

คูณ -4 ด้วย 16

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-64\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

คูณ -64 ด้วย -9

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 16}$$

เพิ่ม 100 ไปยัง 576

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 16}$$

หารากที่สองของ 676

$$x=\frac{-10±26}{2\times 16}$$

คูณ 2 ด้วย 16

$$x=\frac{-10±26}{32}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-10±26}{32} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -10 ไปยัง 26

$$x=\frac{16}{32}$$

ทำเศษส่วน \frac{16}{32} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 16

$$x=\frac{1}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-10±26}{32} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 26 จาก -10

$$x=-\frac{36}{32}$$

ทำเศษส่วน \frac{-36}{32} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 4

$$x=-\frac{9}{8}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$16x^{2}+10x-9=0$$

เพิ่ม 9 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$16x^{2}+10x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

ลบ -9 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$16x^{2}+10x=-\left(-9\right)$$

ลบ -9 จาก 0

$$16x^{2}+10x=9$$

หารทั้งสองข้างด้วย 16

$$\frac{16x^{2}+10x}{16}=\frac{9}{16}$$

หารด้วย 16 เลิกทำการคูณด้วย 16

$$x^{2}+\frac{10}{16}x=\frac{9}{16}$$

ทำเศษส่วน \frac{10}{16} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$x^{2}+\frac{5}{8}x=\frac{9}{16}$$

หาร \frac{5}{8} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{5}{16} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{5}{16} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{9}{16}+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{5}{16} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{9}{16}+\frac{25}{256}$$

เพิ่ม \frac{9}{16} ไปยัง \frac{25}{256} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{169}{256}$$

ตัวประกอบ x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256} โดยทั่วไป เมื่อ x^{2}+bx+c เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{169}{256}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{256}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{5}{16}=\frac{13}{16} x+\frac{5}{16}=-\frac{13}{16}$$

ลบ \frac{5}{16} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$