แก้โจทย์ 15y^2+8y+1=0

$$15 y ^ { 2 } + 8 y + 1 = 0$$

หาค่า y

$$y=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 15y^{2}+ay+by+1 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=8 ab=15\times 1=15$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเดียวกัน เนื่องจาก a+b เป็นบวก a และ b เป็นค่าบวกทั้งคู่ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 15

$$1,15 3,5$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1+15=16 3+5=8$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม 8

$$a=3 b=5$$

เขียน 15y^{2}+8y+1 ใหม่เป็น \left(15y^{2}+3y\right)+\left(5y+1\right)

$$\left(15y^{2}+3y\right)+\left(5y+1\right)$$

แยกตัวประกอบ 3y ใน 15y^{2}+3y

$$3y\left(5y+1\right)+5y+1$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม 5y+1 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(5y+1\right)\left(3y+1\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข 5y+1=0 และ 3y+1=0

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$15y^{2}+8y+1=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 15 แทน a, 8 แทน b และ 1 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$y=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 15}}{2\times 15}$$

ยกกำลังสอง 8

$$y=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 15}}{2\times 15}$$

คูณ -4 ด้วย 15

$$y=\frac{-8±\sqrt{64-60}}{2\times 15}$$

เพิ่ม 64 ไปยัง -60

$$y=\frac{-8±\sqrt{4}}{2\times 15}$$

หารากที่สองของ 4

$$y=\frac{-8±2}{2\times 15}$$

คูณ 2 ด้วย 15

$$y=\frac{-8±2}{30}$$

ตอนนี้ แก้สมการ y=\frac{-8±2}{30} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -8 ไปยัง 2

$$y=-\frac{6}{30}$$

ทำเศษส่วน \frac{-6}{30} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 6

$$y=-\frac{1}{5}$$

ตอนนี้ แก้สมการ y=\frac{-8±2}{30} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 2 จาก -8

$$y=-\frac{10}{30}$$

ทำเศษส่วน \frac{-10}{30} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 10

$$y=-\frac{1}{3}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$15y^{2}+8y+1=0$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$15y^{2}+8y+1-1=-1$$

ลบ 1 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$15y^{2}+8y=-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 15

$$\frac{15y^{2}+8y}{15}=-\frac{1}{15}$$

หารด้วย 15 เลิกทำการคูณด้วย 15

$$y^{2}+\frac{8}{15}y=-\frac{1}{15}$$

หาร \frac{8}{15} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{4}{15} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{4}{15} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\left(\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{1}{15}+\left(\frac{4}{15}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{4}{15} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}=-\frac{1}{15}+\frac{16}{225}$$

เพิ่ม -\frac{1}{15} ไปยัง \frac{16}{225} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}=\frac{1}{225}$$

ตัวประกอบy^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(y+\frac{4}{15}\right)^{2}=\frac{1}{225}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(y+\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{225}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$y+\frac{4}{15}=\frac{1}{15} y+\frac{4}{15}=-\frac{1}{15}$$

ลบ \frac{4}{15} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$