แก้โจทย์ 13n^2-41n-120=0

$$13 n ^ { 2 } - 41 n - 120 = 0$$

หาค่า n

$$n = -\frac{24}{13} = -1\frac{11}{13} \approx -1.846153846$$

$$n=5$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 13n^{2}+an+bn-120 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-41 ab=13\left(-120\right)=-1560$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบตัวเลขค่าลบมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจำนวนบวก แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -1560

$$1,-1560 2,-780 3,-520 4,-390 5,-312 6,-260 8,-195 10,-156 12,-130 13,-120 15,-104 20,-78 24,-65 26,-60 30,-52 39,-40$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1-1560=-1559 2-780=-778 3-520=-517 4-390=-386 5-312=-307 6-260=-254 8-195=-187 10-156=-146 12-130=-118 13-120=-107 15-104=-89 20-78=-58 24-65=-41 26-60=-34 30-52=-22 39-40=-1$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -41

$$a=-65 b=24$$

เขียน 13n^{2}-41n-120 ใหม่เป็น \left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right)

$$\left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right)$$

แยกตัวประกอบ 13n ในกลุ่มแรกและ 24 ใน

$$13n\left(n-5\right)+24\left(n-5\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม n-5 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(n-5\right)\left(13n+24\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข n-5=0 และ 13n+24=0

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$13n^{2}-41n-120=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 13 แทน a, -41 แทน b และ -120 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

ยกกำลังสอง -41

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

คูณ -4 ด้วย 13

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-52\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

คูณ -52 ด้วย -120

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681+6240}}{2\times 13}$$

เพิ่ม 1681 ไปยัง 6240

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{7921}}{2\times 13}$$

หารากที่สองของ 7921

$$n=\frac{-\left(-41\right)±89}{2\times 13}$$

ตรงข้ามกับ -41 คือ 41

$$n=\frac{41±89}{2\times 13}$$

คูณ 2 ด้วย 13

$$n=\frac{41±89}{26}$$

ตอนนี้ แก้สมการ n=\frac{41±89}{26} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 41 ไปยัง 89

$$n=\frac{130}{26}$$

หาร 130 ด้วย 26

$$n=5$$

ตอนนี้ แก้สมการ n=\frac{41±89}{26} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 89 จาก 41

$$n=-\frac{48}{26}$$

ทำเศษส่วน \frac{-48}{26} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$n=-\frac{24}{13}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$13n^{2}-41n-120=0$$

เพิ่ม 120 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$13n^{2}-41n-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

ลบ -120 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$13n^{2}-41n=-\left(-120\right)$$

ลบ -120 จาก 0

$$13n^{2}-41n=120$$

หารทั้งสองข้างด้วย 13

$$\frac{13n^{2}-41n}{13}=\frac{120}{13}$$

หารด้วย 13 เลิกทำการคูณด้วย 13

$$n^{2}-\frac{41}{13}n=\frac{120}{13}$$

หาร -\frac{41}{13} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{41}{26} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{41}{26} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{120}{13}+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{41}{26} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{120}{13}+\frac{1681}{676}$$

เพิ่ม \frac{120}{13} ไปยัง \frac{1681}{676} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{7921}{676}$$

ตัวประกอบn^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{7921}{676}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{676}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$n-\frac{41}{26}=\frac{89}{26} n-\frac{41}{26}=-\frac{89}{26}$$

เพิ่ม \frac{41}{26} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$