แก้โจทย์ 120x^2+8000x-92000=0

$$120 { x }^{ 2 } +8000x-92000=0$$

หาค่า x

$$x = -\frac{230}{3} = -76\frac{2}{3} \approx -76.666666667$$

$$x=10$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

หารทั้งสองข้างด้วย 40

$$3x^{2}+200x-2300=0$$

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 3x^{2}+ax+bx-2300 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=200 ab=3\left(-2300\right)=-6900$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นบวกจำนวนบวกมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจุดลบ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -6900

$$-1,6900 -2,3450 -3,2300 -4,1725 -5,1380 -6,1150 -10,690 -12,575 -15,460 -20,345 -23,300 -25,276 -30,230 -46,150 -50,138 -60,115 -69,100 -75,92$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1+6900=6899 -2+3450=3448 -3+2300=2297 -4+1725=1721 -5+1380=1375 -6+1150=1144 -10+690=680 -12+575=563 -15+460=445 -20+345=325 -23+300=277 -25+276=251 -30+230=200 -46+150=104 -50+138=88 -60+115=55 -69+100=31 -75+92=17$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม 200

$$a=-30 b=230$$

เขียน 3x^{2}+200x-2300 ใหม่เป็น \left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)$$

แยกตัวประกอบ 3x ในกลุ่มแรกและ 230 ใน

$$3x\left(x-10\right)+230\left(x-10\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม x-10 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(x-10\right)\left(3x+230\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข x-10=0 และ 3x+230=0

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 120 แทน a, 8000 แทน b และ -92000 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-8000±\sqrt{8000^{2}-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

ยกกำลังสอง 8000

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

คูณ -4 ด้วย 120

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-480\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

คูณ -480 ด้วย -92000

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000+44160000}}{2\times 120}$$

เพิ่ม 64000000 ไปยัง 44160000

$$x=\frac{-8000±\sqrt{108160000}}{2\times 120}$$

หารากที่สองของ 108160000

$$x=\frac{-8000±10400}{2\times 120}$$

คูณ 2 ด้วย 120

$$x=\frac{-8000±10400}{240}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-8000±10400}{240} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -8000 ไปยัง 10400

$$x=\frac{2400}{240}$$

หาร 2400 ด้วย 240

$$x=10$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-8000±10400}{240} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 10400 จาก -8000

$$x=-\frac{18400}{240}$$

ทำเศษส่วน \frac{-18400}{240} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 80

$$x=-\frac{230}{3}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

เพิ่ม 92000 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$120x^{2}+8000x-92000-\left(-92000\right)=-\left(-92000\right)$$

ลบ -92000 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$120x^{2}+8000x=-\left(-92000\right)$$

ลบ -92000 จาก 0

$$120x^{2}+8000x=92000$$

หารทั้งสองข้างด้วย 120

$$\frac{120x^{2}+8000x}{120}=\frac{92000}{120}$$

หารด้วย 120 เลิกทำการคูณด้วย 120

$$x^{2}+\frac{8000}{120}x=\frac{92000}{120}$$

ทำเศษส่วน \frac{8000}{120} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 40

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{92000}{120}$$

ทำเศษส่วน \frac{92000}{120} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 40

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{2300}{3}$$

หาร \frac{200}{3} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{100}{3} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{100}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{2300}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{100}{3} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{2300}{3}+\frac{10000}{9}$$

เพิ่ม \frac{2300}{3} ไปยัง \frac{10000}{9} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{16900}{9}$$

ตัวประกอบx^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{16900}{9}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16900}{9}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{100}{3}=\frac{130}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{130}{3}$$

ลบ \frac{100}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$