แก้โจทย์ 12x^2-2x+5=0

$$12 x ^ { 2 } - 2 x + 5 = 0$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12}\approx 0.083333333+0.640095479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}\approx 0.083333333-0.640095479i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$12x^{2}-2x+5=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 12 แทน a, -2 แทน b และ 5 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

ยกกำลังสอง -2

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

คูณ -4 ด้วย 12

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-48\times 5}}{2\times 12}$$

คูณ -48 ด้วย 5

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-240}}{2\times 12}$$

เพิ่ม 4 ไปยัง -240

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-236}}{2\times 12}$$

หารากที่สองของ -236

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{59}i}{2\times 12}$$

ตรงข้ามกับ -2 คือ 2

$$x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{2\times 12}$$

คูณ 2 ด้วย 12

$$x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 2 ไปยัง 2i\sqrt{59}

$$x=\frac{2+2\sqrt{59}i}{24}$$

หาร 2+2i\sqrt{59} ด้วย 24

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 2i\sqrt{59} จาก 2

$$x=\frac{-2\sqrt{59}i+2}{24}$$

หาร 2-2i\sqrt{59} ด้วย 24

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12} x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$12x^{2}-2x+5=0$$

ลบ 5 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$12x^{2}-2x+5-5=-5$$

ลบ 5 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$12x^{2}-2x=-5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 12

$$\frac{12x^{2}-2x}{12}=-\frac{5}{12}$$

หารด้วย 12 เลิกทำการคูณด้วย 12

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{12}\right)x=-\frac{5}{12}$$

ทำเศษส่วน \frac{-2}{12} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=-\frac{5}{12}$$

หาร -\frac{1}{6} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{1}{12} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{1}{12} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{1}{12} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=-\frac{5}{12}+\frac{1}{144}$$

เพิ่ม -\frac{5}{12} ไปยัง \frac{1}{144} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=-\frac{59}{144}$$

ตัวประกอบ x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144} โดยทั่วไป เมื่อ x^{2}+bx+c เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=-\frac{59}{144}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{59}{144}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{1}{12}=\frac{\sqrt{59}i}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{\sqrt{59}i}{12}$$

เพิ่ม \frac{1}{12} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12} x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$