แก้โจทย์ 12r^2-11r-15=0

$$12 r ^ { 2 } - 11 r - 15 = 0$$

หาค่า r

$$r=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$r = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 12r^{2}+ar+br-15 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบตัวเลขค่าลบมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจำนวนบวก แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -180

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -11

$$a=-20 b=9$$

เขียน 12r^{2}-11r-15 ใหม่เป็น \left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right)

$$\left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right)$$

แยกตัวประกอบ 4r ในกลุ่มแรกและ 3 ใน

$$4r\left(3r-5\right)+3\left(3r-5\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม 3r-5 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(3r-5\right)\left(4r+3\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข 3r-5=0 และ 4r+3=0

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$12r^{2}-11r-15=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 12 แทน a, -11 แทน b และ -15 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

ยกกำลังสอง -11

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

คูณ -4 ด้วย 12

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

คูณ -48 ด้วย -15

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

เพิ่ม 121 ไปยัง 720

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

หารากที่สองของ 841

$$r=\frac{-\left(-11\right)±29}{2\times 12}$$

ตรงข้ามกับ -11 คือ 11

$$r=\frac{11±29}{2\times 12}$$

คูณ 2 ด้วย 12

$$r=\frac{11±29}{24}$$

ตอนนี้ แก้สมการ r=\frac{11±29}{24} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 11 ไปยัง 29

$$r=\frac{40}{24}$$

ทำเศษส่วน \frac{40}{24} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 8

$$r=\frac{5}{3}$$

ตอนนี้ แก้สมการ r=\frac{11±29}{24} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 29 จาก 11

$$r=-\frac{18}{24}$$

ทำเศษส่วน \frac{-18}{24} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 6

$$r=-\frac{3}{4}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$12r^{2}-11r-15=0$$

เพิ่ม 15 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$12r^{2}-11r-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

ลบ -15 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$12r^{2}-11r=-\left(-15\right)$$

ลบ -15 จาก 0

$$12r^{2}-11r=15$$

หารทั้งสองข้างด้วย 12

$$\frac{12r^{2}-11r}{12}=\frac{15}{12}$$

หารด้วย 12 เลิกทำการคูณด้วย 12

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{15}{12}$$

ทำเศษส่วน \frac{15}{12} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 3

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{5}{4}$$

หาร -\frac{11}{12} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{11}{24} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{11}{24} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{11}{24} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{5}{4}+\frac{121}{576}$$

เพิ่ม \frac{5}{4} ไปยัง \frac{121}{576} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{841}{576}$$

ตัวประกอบr^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{841}{576}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{576}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$r-\frac{11}{24}=\frac{29}{24} r-\frac{11}{24}=-\frac{29}{24}$$

เพิ่ม \frac{11}{24} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$