แก้โจทย์ 12(n-4)-30=n^2-9n+12

$$12 ( n - 4 ) - 30 = n ^ { 2 } - 9 n + 12$$

หาค่า n

$$n=6$$

$$n=15$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 12 ด้วย n-4

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

ลบ 30 จาก -48 เพื่อรับ -78

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

ลบ n^{2} จากทั้งสองด้าน

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

เพิ่ม 9n ไปทั้งสองด้าน

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

รวม 12n และ 9n เพื่อให้ได้รับ 21n

$$21n-78-n^{2}=12$$

ลบ 12 จากทั้งสองด้าน

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

ลบ 12 จาก -78 เพื่อรับ -90

$$21n-90-n^{2}=0$$

จัดเรียงพหุเพื่อวางไว้ในรูปแบบมาตรฐาน วางพจน์ตามลำดับจากกำลังสูงสุดถึงต่ำสุด

$$-n^{2}+21n-90=0$$

เมื่อต้องการแก้ไขสมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ต้องมีการเขียนใหม่ด้านซ้ายมืออีกครั้งเนื่องจาก -n^{2}+an+bn-90 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้ไข

$$a+b=21 ab=-\left(-90\right)=90$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเหมือนกัน เนื่องจาก a+b เป็นบวก a และ b มีทั้งค่าบวก แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 90

$$1,90 2,45 3,30 5,18 6,15 9,10$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1+90=91 2+45=47 3+30=33 5+18=23 6+15=21 9+10=19$$

ผลเฉลยเป็นคู่ที่ให้ผลรวม 21

$$a=15 b=6$$

เขียน -n^{2}+21n-90 ใหม่เป็น \left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right)

$$\left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right)$$

แยกตัวประกอบ -n ในกลุ่มแรกและ 6 ในกลุ่มที่สอง

$$-n\left(n-15\right)+6\left(n-15\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม n-15 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(n-15\right)\left(-n+6\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาผลเฉลยสมการ ให้แก้ n-15=0 และ -n+6=0

$$n=15 n=6$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 12 ด้วย n-4

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

ลบ 30 จาก -48 เพื่อรับ -78

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

ลบ n^{2} จากทั้งสองด้าน

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

เพิ่ม 9n ไปทั้งสองด้าน

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

รวม 12n และ 9n เพื่อให้ได้รับ 21n

$$21n-78-n^{2}=12$$

ลบ 12 จากทั้งสองด้าน

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

ลบ 12 จาก -78 เพื่อรับ -90

$$21n-90-n^{2}=0$$

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$-n^{2}+21n-90=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ -1 แทน a, 21 แทน b และ -90 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$n=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

ยกกำลังสอง 21

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

คูณ -4 ด้วย -1

$$n=\frac{-21±\sqrt{441+4\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

คูณ 4 ด้วย -90

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-360}}{2\left(-1\right)}$$

เพิ่ม 441 ไปยัง -360

$$n=\frac{-21±\sqrt{81}}{2\left(-1\right)}$$

หารากที่สองของ 81

$$n=\frac{-21±9}{2\left(-1\right)}$$

คูณ 2 ด้วย -1

$$n=\frac{-21±9}{-2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ n=\frac{-21±9}{-2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -21 ไปยัง 9

$$n=-\frac{12}{-2}$$

หาร -12 ด้วย -2

$$n=6$$

ตอนนี้ แก้สมการ n=\frac{-21±9}{-2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 9 จาก -21

$$n=-\frac{30}{-2}$$

หาร -30 ด้วย -2

$$n=15$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$n=6 n=15$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 12 ด้วย n-4

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

ลบ 30 จาก -48 เพื่อรับ -78

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

ลบ n^{2} จากทั้งสองด้าน

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

เพิ่ม 9n ไปทั้งสองด้าน

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

รวม 12n และ 9n เพื่อให้ได้รับ 21n

$$21n-78-n^{2}=12$$

เพิ่ม 78 ไปทั้งสองด้าน

$$21n-n^{2}=12+78$$

เพิ่ม 12 และ 78 เพื่อให้ได้รับ 90

$$21n-n^{2}=90$$

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$-n^{2}+21n=90$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$\frac{-n^{2}+21n}{-1}=\frac{90}{-1}$$

หารด้วย -1 เลิกทำการคูณด้วย -1

$$n^{2}+\frac{21}{-1}n=\frac{90}{-1}$$

หาร 21 ด้วย -1

$$n^{2}-21n=\frac{90}{-1}$$

หาร 90 ด้วย -1

$$n^{2}-21n=-90$$

หาร -21 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{21}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{21}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$n^{2}-21n+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-90+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{21}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=-90+\frac{441}{4}$$

เพิ่ม -90 ไปยัง \frac{441}{4}

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=\frac{81}{4}$$

ตัวประกอบ n^{2}-21n+\frac{441}{4} โดยทั่วไป เมื่อ x^{2}+bx+c เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ได้เสมอ

$$\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$n-\frac{21}{2}=\frac{9}{2} n-\frac{21}{2}=-\frac{9}{2}$$

เพิ่ม \frac{21}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$n=15 n=6$$