แก้โจทย์ 12x^2+32x+5=0

$$12 { x }^{ 2 } +32x+5=0$$

หาค่า x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0.166666667$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้ไขสมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ต้องมีการเขียนใหม่ด้านซ้ายมืออีกครั้งเนื่องจาก 12x^{2}+ax+bx+5 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้ไข

$$a+b=32 ab=12\times 5=60$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเหมือนกัน เนื่องจาก a+b เป็นบวก a และ b มีทั้งค่าบวก แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 60

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

ผลเฉลยเป็นคู่ที่ให้ผลรวม 32

$$a=2 b=30$$

เขียน 12x^{2}+32x+5 ใหม่เป็น \left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right)

$$\left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right)$$

แยกตัวประกอบ 2x ในกลุ่มแรกและ 5 ในกลุ่มที่สอง

$$2x\left(6x+1\right)+5\left(6x+1\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม 6x+1 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(6x+1\right)\left(2x+5\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาผลเฉลยสมการ ให้แก้ 6x+1=0 และ 2x+5=0

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$12x^{2}+32x+5=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 12 แทน a, 32 แทน b และ 5 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

ยกกำลังสอง 32

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

คูณ -4 ด้วย 12

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-48\times 5}}{2\times 12}$$

คูณ -48 ด้วย 5

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-240}}{2\times 12}$$

เพิ่ม 1024 ไปยัง -240

$$x=\frac{-32±\sqrt{784}}{2\times 12}$$

หารากที่สองของ 784

$$x=\frac{-32±28}{2\times 12}$$

คูณ 2 ด้วย 12

$$x=\frac{-32±28}{24}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-32±28}{24} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -32 ไปยัง 28

$$x=-\frac{4}{24}$$

ทำเศษส่วน \frac{-4}{24} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 4

$$x=-\frac{1}{6}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-32±28}{24} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 28 จาก -32

$$x=-\frac{60}{24}$$

ทำเศษส่วน \frac{-60}{24} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 12

$$x=-\frac{5}{2}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$12x^{2}+32x+5=0$$

ลบ 5 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$12x^{2}+32x+5-5=-5$$

ลบ 5 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$12x^{2}+32x=-5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 12

$$\frac{12x^{2}+32x}{12}=-\frac{5}{12}$$

หารด้วย 12 เลิกทำการคูณด้วย 12

$$x^{2}+\frac{32}{12}x=-\frac{5}{12}$$

ทำเศษส่วน \frac{32}{12} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 4

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{5}{12}$$

หาร \frac{8}{3} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{4}{3} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{4}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{4}{3} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{5}{12}+\frac{16}{9}$$

เพิ่ม -\frac{5}{12} ไปยัง \frac{16}{9} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{36}$$

ตัวประกอบ x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} โดยทั่วไป เมื่อ x^{2}+bx+c เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{6} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{6}$$

ลบ \frac{4}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$