แก้โจทย์ 12x^2+13x+3=0

$$12 { x }^{ 2 } +13x+3 = 0$$

หาค่า x

$$x=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 12x^{2}+ax+bx+3 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=13 ab=12\times 3=36$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเดียวกัน เนื่องจาก a+b เป็นบวก a และ b เป็นค่าบวกทั้งคู่ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 36

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม 13

$$a=4 b=9$$

เขียน 12x^{2}+13x+3 ใหม่เป็น \left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right)

$$\left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right)$$

แยกตัวประกอบ 4x ในกลุ่มแรกและ 3 ใน

$$4x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม 3x+1 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(3x+1\right)\left(4x+3\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข 3x+1=0 และ 4x+3=0

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$12x^{2}+13x+3=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 12 แทน a, 13 แทน b และ 3 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

ยกกำลังสอง 13

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

คูณ -4 ด้วย 12

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-48\times 3}}{2\times 12}$$

คูณ -48 ด้วย 3

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-144}}{2\times 12}$$

เพิ่ม 169 ไปยัง -144

$$x=\frac{-13±\sqrt{25}}{2\times 12}$$

หารากที่สองของ 25

$$x=\frac{-13±5}{2\times 12}$$

คูณ 2 ด้วย 12

$$x=\frac{-13±5}{24}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-13±5}{24} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -13 ไปยัง 5

$$x=-\frac{8}{24}$$

ทำเศษส่วน \frac{-8}{24} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 8

$$x=-\frac{1}{3}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-13±5}{24} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 5 จาก -13

$$x=-\frac{18}{24}$$

ทำเศษส่วน \frac{-18}{24} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 6

$$x=-\frac{3}{4}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$12x^{2}+13x+3=0$$

ลบ 3 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$12x^{2}+13x+3-3=-3$$

ลบ 3 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$12x^{2}+13x=-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 12

$$\frac{12x^{2}+13x}{12}=-\frac{3}{12}$$

หารด้วย 12 เลิกทำการคูณด้วย 12

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{3}{12}$$

ทำเศษส่วน \frac{-3}{12} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 3

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{1}{4}$$

หาร \frac{13}{12} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{13}{24} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{13}{24} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{13}{24} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=-\frac{1}{4}+\frac{169}{576}$$

เพิ่ม -\frac{1}{4} ไปยัง \frac{169}{576} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=\frac{25}{576}$$

ตัวประกอบx^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}=\frac{25}{576}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{576}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{13}{24}=\frac{5}{24} x+\frac{13}{24}=-\frac{5}{24}$$

ลบ \frac{13}{24} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$