แก้โจทย์ 11=1+20x-49x^2

$$11=1+20x-49 { x }^{ 2 }$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49}\approx 0.204081633-0.403028932i$$

$$x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49}\approx 0.204081633+0.403028932i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$1+20x-49x^{2}=11$$

ลบ 11 จากทั้งสองด้าน

$$1+20x-49x^{2}-11=0$$

ลบ 11 จาก 1 เพื่อรับ -10

$$-10+20x-49x^{2}=0$$

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$-49x^{2}+20x-10=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ -49 แทน a, 20 แทน b และ -10 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-49\right)\left(-10\right)}}{2\left(-49\right)}$$

ยกกำลังสอง 20

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-49\right)\left(-10\right)}}{2\left(-49\right)}$$

คูณ -4 ด้วย -49

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+196\left(-10\right)}}{2\left(-49\right)}$$

คูณ 196 ด้วย -10

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-1960}}{2\left(-49\right)}$$

เพิ่ม 400 ไปยัง -1960

$$x=\frac{-20±\sqrt{-1560}}{2\left(-49\right)}$$

หารากที่สองของ -1560

$$x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{2\left(-49\right)}$$

คูณ 2 ด้วย -49

$$x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{-98}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{-98} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -20 ไปยัง 2i\sqrt{390}

$$x=\frac{-20+2\sqrt{390}i}{-98}$$

หาร -20+2i\sqrt{390} ด้วย -98

$$x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{-98} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 2i\sqrt{390} จาก -20

$$x=\frac{-2\sqrt{390}i-20}{-98}$$

หาร -20-2i\sqrt{390} ด้วย -98

$$x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49} x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$1+20x-49x^{2}=11$$

ลบ 1 จากทั้งสองด้าน

$$20x-49x^{2}=11-1$$

ลบ 1 จาก 11 เพื่อรับ 10

$$20x-49x^{2}=10$$

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$-49x^{2}+20x=10$$

หารทั้งสองข้างด้วย -49

$$\frac{-49x^{2}+20x}{-49}=\frac{10}{-49}$$

หารด้วย -49 เลิกทำการคูณด้วย -49

$$x^{2}+\frac{20}{-49}x=\frac{10}{-49}$$

หาร 20 ด้วย -49

$$x^{2}-\frac{20}{49}x=\frac{10}{-49}$$

หาร 10 ด้วย -49

$$x^{2}-\frac{20}{49}x=-\frac{10}{49}$$

หาร -\frac{20}{49} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{10}{49} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{10}{49} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{20}{49}x+\left(-\frac{10}{49}\right)^{2}=-\frac{10}{49}+\left(-\frac{10}{49}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{10}{49} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{20}{49}x+\frac{100}{2401}=-\frac{10}{49}+\frac{100}{2401}$$

เพิ่ม -\frac{10}{49} ไปยัง \frac{100}{2401} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{20}{49}x+\frac{100}{2401}=-\frac{390}{2401}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{20}{49}x+\frac{100}{2401} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{10}{49}\right)^{2}=-\frac{390}{2401}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{49}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{390}{2401}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{10}{49}=\frac{\sqrt{390}i}{49} x-\frac{10}{49}=-\frac{\sqrt{390}i}{49}$$

เพิ่ม \frac{10}{49} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49} x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49}$$