แก้โจทย์ 11x^2-10x+13=0

$$11 x ^ { 2 } - 10 x + 13 = 0$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}\approx 0.454545455+0.987525499i$$

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}\approx 0.454545455-0.987525499i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$11x^{2}-10x+13=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 11 แทน a, -10 แทน b และ 13 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

ยกกำลังสอง -10

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

คูณ -4 ด้วย 11

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-44\times 13}}{2\times 11}$$

คูณ -44 ด้วย 13

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-572}}{2\times 11}$$

เพิ่ม 100 ไปยัง -572

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-472}}{2\times 11}$$

หารากที่สองของ -472

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

ตรงข้ามกับ -10 คือ 10

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

คูณ 2 ด้วย 11

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 10 ไปยัง 2i\sqrt{118}

$$x=\frac{10+2\sqrt{118}i}{22}$$

หาร 10+2i\sqrt{118} ด้วย 22

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 2i\sqrt{118} จาก 10

$$x=\frac{-2\sqrt{118}i+10}{22}$$

หาร 10-2i\sqrt{118} ด้วย 22

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$11x^{2}-10x+13=0$$

ลบ 13 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$11x^{2}-10x+13-13=-13$$

ลบ 13 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$11x^{2}-10x=-13$$

หารทั้งสองข้างด้วย 11

$$\frac{11x^{2}-10x}{11}=-\frac{13}{11}$$

หารด้วย 11 เลิกทำการคูณด้วย 11

$$x^{2}-\frac{10}{11}x=-\frac{13}{11}$$

หาร -\frac{10}{11} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{5}{11} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{5}{11} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{13}{11}+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{5}{11} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{13}{11}+\frac{25}{121}$$

เพิ่ม -\frac{13}{11} ไปยัง \frac{25}{121} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{118}{121}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{118}{121}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{118}{121}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{5}{11}=\frac{\sqrt{118}i}{11} x-\frac{5}{11}=-\frac{\sqrt{118}i}{11}$$

เพิ่ม \frac{5}{11} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$