แก้โจทย์ 11x^2-9x+1>0

$$11 { x }^{ 2 } -9x+1 > 0$$

หาค่า x

$$x\in \left(-\infty,\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{37}+9}{22},\infty\right)$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

เมื่อต้องการแก้อสมการ ให้แยกตัวประกอบด้านซ้ายมือ สมการพหุนามกำลังสองสามารถแยกตัวประกอบโดยใช้การแปลง ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) ที่ x_{1} และ x_{2} เป็นผลเฉลยของสมการกำลังสอง ax^{2}+bx+c=0

$$11x^{2}-9x+1=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 11 สำหรับ a -9 สำหรับ b และ 1 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 11\times 1}}{2\times 11}$$

ทำการคำนวณ

$$x=\frac{9±\sqrt{37}}{22}$$

แก้สมการ x=\frac{9±\sqrt{37}}{22} เมื่อ ± เป็นบวก และเมื่อ ± เป็นลบ

$$x=\frac{\sqrt{37}+9}{22} x=\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

เขียนอสมการใหม่โดยใช้ผลเฉลยที่ได้

$$11\left(x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}\right)\left(x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)>0$$

เพื่อให้ผลคูณเป็นค่าบวก x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} และ x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} ต้องเป็นค่าลบทั้งคู่ หรือค่าบวกทั้งคู่ พิจารณากรณีเมื่อ x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} และ x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} เป็นค่าลบทั้งคู่

$$x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}<0 x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}<0$$

ผลเฉลยที่แก้ไขอสมการทั้งสองคือ x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

พิจารณากรณีเมื่อ x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} และ x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} เป็นค่าบวกทั้งคู่

$$x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}>0 x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}>0$$

ผลเฉลยที่แก้ไขอสมการทั้งสองคือ x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}

$$x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$

ผลเฉลยสุดท้ายคือการรวมผลเฉลยที่ได้

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}\text{; }x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$