แก้โจทย์ 11x^2+9x+4=0

$$11 { x }^{ 2 } +9x+4=0$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{-9+\sqrt{95}i}{22}\approx -0.409090909+0.443036107i$$

$$x=\frac{-\sqrt{95}i-9}{22}\approx -0.409090909-0.443036107i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$11x^{2}+9x+4=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 11 แทน a, 9 แทน b และ 4 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 11\times 4}}{2\times 11}$$

ยกกำลังสอง 9

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 11\times 4}}{2\times 11}$$

คูณ -4 ด้วย 11

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-44\times 4}}{2\times 11}$$

คูณ -44 ด้วย 4

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-176}}{2\times 11}$$

เพิ่ม 81 ไปยัง -176

$$x=\frac{-9±\sqrt{-95}}{2\times 11}$$

หารากที่สองของ -95

$$x=\frac{-9±\sqrt{95}i}{2\times 11}$$

คูณ 2 ด้วย 11

$$x=\frac{-9±\sqrt{95}i}{22}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-9±\sqrt{95}i}{22} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -9 ไปยัง i\sqrt{95}

$$x=\frac{-9+\sqrt{95}i}{22}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-9±\sqrt{95}i}{22} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ i\sqrt{95} จาก -9

$$x=\frac{-\sqrt{95}i-9}{22}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{-9+\sqrt{95}i}{22} x=\frac{-\sqrt{95}i-9}{22}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$11x^{2}+9x+4=0$$

ลบ 4 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$11x^{2}+9x+4-4=-4$$

ลบ 4 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$11x^{2}+9x=-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 11

$$\frac{11x^{2}+9x}{11}=-\frac{4}{11}$$

หารด้วย 11 เลิกทำการคูณด้วย 11

$$x^{2}+\frac{9}{11}x=-\frac{4}{11}$$

หาร \frac{9}{11} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{9}{22} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{9}{22} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+\frac{9}{11}x+\left(\frac{9}{22}\right)^{2}=-\frac{4}{11}+\left(\frac{9}{22}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{9}{22} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+\frac{9}{11}x+\frac{81}{484}=-\frac{4}{11}+\frac{81}{484}$$

เพิ่ม -\frac{4}{11} ไปยัง \frac{81}{484} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}+\frac{9}{11}x+\frac{81}{484}=-\frac{95}{484}$$

ตัวประกอบx^{2}+\frac{9}{11}x+\frac{81}{484} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{9}{22}\right)^{2}=-\frac{95}{484}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{22}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{95}{484}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{9}{22}=\frac{\sqrt{95}i}{22} x+\frac{9}{22}=-\frac{\sqrt{95}i}{22}$$

ลบ \frac{9}{22} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{-9+\sqrt{95}i}{22} x=\frac{-\sqrt{95}i-9}{22}$$