แก้โจทย์ 1000x^2-590x-561=0

$$1000 { x }^{ 2 } -590x-561=0$$

หาค่า x

$$x=-\frac{51}{100}=-0.51$$

$$x = \frac{11}{10} = 1\frac{1}{10} = 1.1$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 1000x^{2}+ax+bx-561 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-590 ab=1000\left(-561\right)=-561000$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบตัวเลขค่าลบมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจำนวนบวก แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -561000

$$1,-561000 2,-280500 3,-187000 4,-140250 5,-112200 6,-93500 8,-70125 10,-56100 11,-51000 12,-46750 15,-37400 17,-33000 20,-28050 22,-25500 24,-23375 25,-22440 30,-18700 33,-17000 34,-16500 40,-14025 44,-12750 50,-11220 51,-11000 55,-10200 60,-9350 66,-8500 68,-8250 75,-7480 85,-6600 88,-6375 100,-5610 102,-5500 110,-5100 120,-4675 125,-4488 132,-4250 136,-4125 150,-3740 165,-3400 170,-3300 187,-3000 200,-2805 204,-2750 220,-2550 250,-2244 255,-2200 264,-2125 275,-2040 300,-1870 330,-1700 340,-1650 374,-1500 375,-1496 408,-1375 425,-1320 440,-1275 500,-1122 510,-1100 550,-1020 561,-1000 600,-935 660,-850 680,-825 748,-750$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1-561000=-560999 2-280500=-280498 3-187000=-186997 4-140250=-140246 5-112200=-112195 6-93500=-93494 8-70125=-70117 10-56100=-56090 11-51000=-50989 12-46750=-46738 15-37400=-37385 17-33000=-32983 20-28050=-28030 22-25500=-25478 24-23375=-23351 25-22440=-22415 30-18700=-18670 33-17000=-16967 34-16500=-16466 40-14025=-13985 44-12750=-12706 50-11220=-11170 51-11000=-10949 55-10200=-10145 60-9350=-9290 66-8500=-8434 68-8250=-8182 75-7480=-7405 85-6600=-6515 88-6375=-6287 100-5610=-5510 102-5500=-5398 110-5100=-4990 120-4675=-4555 125-4488=-4363 132-4250=-4118 136-4125=-3989 150-3740=-3590 165-3400=-3235 170-3300=-3130 187-3000=-2813 200-2805=-2605 204-2750=-2546 220-2550=-2330 250-2244=-1994 255-2200=-1945 264-2125=-1861 275-2040=-1765 300-1870=-1570 330-1700=-1370 340-1650=-1310 374-1500=-1126 375-1496=-1121 408-1375=-967 425-1320=-895 440-1275=-835 500-1122=-622 510-1100=-590 550-1020=-470 561-1000=-439 600-935=-335 660-850=-190 680-825=-145 748-750=-2$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -590

$$a=-1100 b=510$$

เขียน 1000x^{2}-590x-561 ใหม่เป็น \left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right)

$$\left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right)$$

แยกตัวประกอบ 100x ในกลุ่มแรกและ 51 ใน

$$100x\left(10x-11\right)+51\left(10x-11\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม 10x-11 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(10x-11\right)\left(100x+51\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข 10x-11=0 และ 100x+51=0

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$1000x^{2}-590x-561=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 1000 แทน a, -590 แทน b และ -561 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{\left(-590\right)^{2}-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

ยกกำลังสอง -590

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

คูณ -4 ด้วย 1000

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

คูณ -4000 ด้วย -561

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100+2244000}}{2\times 1000}$$

เพิ่ม 348100 ไปยัง 2244000

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{2592100}}{2\times 1000}$$

หารากที่สองของ 2592100

$$x=\frac{-\left(-590\right)±1610}{2\times 1000}$$

ตรงข้ามกับ -590 คือ 590

$$x=\frac{590±1610}{2\times 1000}$$

คูณ 2 ด้วย 1000

$$x=\frac{590±1610}{2000}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{590±1610}{2000} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 590 ไปยัง 1610

$$x=\frac{2200}{2000}$$

ทำเศษส่วน \frac{2200}{2000} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 200

$$x=\frac{11}{10}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{590±1610}{2000} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 1610 จาก 590

$$x=-\frac{1020}{2000}$$

ทำเศษส่วน \frac{-1020}{2000} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 20

$$x=-\frac{51}{100}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$1000x^{2}-590x-561=0$$

เพิ่ม 561 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$1000x^{2}-590x-561-\left(-561\right)=-\left(-561\right)$$

ลบ -561 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$1000x^{2}-590x=-\left(-561\right)$$

ลบ -561 จาก 0

$$1000x^{2}-590x=561$$

หารทั้งสองข้างด้วย 1000

$$\frac{1000x^{2}-590x}{1000}=\frac{561}{1000}$$

หารด้วย 1000 เลิกทำการคูณด้วย 1000

$$x^{2}+\left(-\frac{590}{1000}\right)x=\frac{561}{1000}$$

ทำเศษส่วน \frac{-590}{1000} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 10

$$x^{2}-\frac{59}{100}x=\frac{561}{1000}$$

หาร -\frac{59}{100} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{59}{200} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{59}{200} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{561}{1000}+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{59}{200} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{561}{1000}+\frac{3481}{40000}$$

เพิ่ม \frac{561}{1000} ไปยัง \frac{3481}{40000} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{25921}{40000}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{25921}{40000}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25921}{40000}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{59}{200}=\frac{161}{200} x-\frac{59}{200}=-\frac{161}{200}$$

เพิ่ม \frac{59}{200} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$