แก้โจทย์ 10x^2-31x+28=0

$$10 x ^ { 2 } - 31 x + 28 = 0$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{31+\sqrt{159}i}{20}\approx 1.55+0.630476011i$$

$$x=\frac{-\sqrt{159}i+31}{20}\approx 1.55-0.630476011i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$10x^{2}-31x+28=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 10 แทน a, -31 แทน b และ 28 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 10\times 28}}{2\times 10}$$

ยกกำลังสอง -31

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 10\times 28}}{2\times 10}$$

คูณ -4 ด้วย 10

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-40\times 28}}{2\times 10}$$

คูณ -40 ด้วย 28

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-1120}}{2\times 10}$$

เพิ่ม 961 ไปยัง -1120

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{-159}}{2\times 10}$$

หารากที่สองของ -159

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{159}i}{2\times 10}$$

ตรงข้ามกับ -31 คือ 31

$$x=\frac{31±\sqrt{159}i}{2\times 10}$$

คูณ 2 ด้วย 10

$$x=\frac{31±\sqrt{159}i}{20}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{31±\sqrt{159}i}{20} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 31 ไปยัง i\sqrt{159}

$$x=\frac{31+\sqrt{159}i}{20}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{31±\sqrt{159}i}{20} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ i\sqrt{159} จาก 31

$$x=\frac{-\sqrt{159}i+31}{20}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{31+\sqrt{159}i}{20} x=\frac{-\sqrt{159}i+31}{20}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$10x^{2}-31x+28=0$$

ลบ 28 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$10x^{2}-31x+28-28=-28$$

ลบ 28 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$10x^{2}-31x=-28$$

หารทั้งสองข้างด้วย 10

$$\frac{10x^{2}-31x}{10}=-\frac{28}{10}$$

หารด้วย 10 เลิกทำการคูณด้วย 10

$$x^{2}-\frac{31}{10}x=-\frac{28}{10}$$

ทำเศษส่วน \frac{-28}{10} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$x^{2}-\frac{31}{10}x=-\frac{14}{5}$$

หาร -\frac{31}{10} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{31}{20} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{31}{20} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{31}{10}x+\left(-\frac{31}{20}\right)^{2}=-\frac{14}{5}+\left(-\frac{31}{20}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{31}{20} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{31}{10}x+\frac{961}{400}=-\frac{14}{5}+\frac{961}{400}$$

เพิ่ม -\frac{14}{5} ไปยัง \frac{961}{400} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{31}{10}x+\frac{961}{400}=-\frac{159}{400}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{31}{10}x+\frac{961}{400} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{31}{20}\right)^{2}=-\frac{159}{400}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{20}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{159}{400}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{31}{20}=\frac{\sqrt{159}i}{20} x-\frac{31}{20}=-\frac{\sqrt{159}i}{20}$$

เพิ่ม \frac{31}{20} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{31+\sqrt{159}i}{20} x=\frac{-\sqrt{159}i+31}{20}$$