แก้โจทย์ 10k^2+9k-1=0

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

หาค่า k

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0.1$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 10k^{2}+ak+bk-1 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นบวกจำนวนบวกมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจุดลบ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -10

$$-1,10 -2,5$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1+10=9 -2+5=3$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม 9

$$a=-1 b=10$$

เขียน 10k^{2}+9k-1 ใหม่เป็น \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

แยกตัวประกอบ k ใน 10k^{2}-k

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม 10k-1 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข 10k-1=0 และ k+1=0

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$10k^{2}+9k-1=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 10 แทน a, 9 แทน b และ -1 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

ยกกำลังสอง 9

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

คูณ -4 ด้วย 10

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

คูณ -40 ด้วย -1

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

เพิ่ม 81 ไปยัง 40

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

หารากที่สองของ 121

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

คูณ 2 ด้วย 10

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

ตอนนี้ แก้สมการ k=\frac{-9±11}{20} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -9 ไปยัง 11

$$k=\frac{2}{20}$$

ทำเศษส่วน \frac{2}{20} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$k=\frac{1}{10}$$

ตอนนี้ แก้สมการ k=\frac{-9±11}{20} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 11 จาก -9

$$k=-\frac{20}{20}$$

หาร -20 ด้วย 20

$$k=-1$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$10k^{2}+9k-1=0$$

เพิ่ม 1 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

ลบ -1 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

ลบ -1 จาก 0

$$10k^{2}+9k=1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 10

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

หารด้วย 10 เลิกทำการคูณด้วย 10

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

หาร \frac{9}{10} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{9}{20} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{9}{20} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{9}{20} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

เพิ่ม \frac{1}{10} ไปยัง \frac{81}{400} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

ตัวประกอบk^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

ลบ \frac{9}{20} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$