แก้โจทย์ -4x^2+20x-47=0

$$-4 { x }^{ 2 } +20x-47=0$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}\approx 2.5-2.34520788i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}\approx 2.5+2.34520788i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ -4 แทน a, 20 แทน b และ -47 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

ยกกำลังสอง 20

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

คูณ -4 ด้วย -4

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+16\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

คูณ 16 ด้วย -47

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-752}}{2\left(-4\right)}$$

เพิ่ม 400 ไปยัง -752

$$x=\frac{-20±\sqrt{-352}}{2\left(-4\right)}$$

หารากที่สองของ -352

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{2\left(-4\right)}$$

คูณ 2 ด้วย -4

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -20 ไปยัง 4i\sqrt{22}

$$x=\frac{-20+4\sqrt{22}i}{-8}$$

หาร -20+4i\sqrt{22} ด้วย -8

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 4i\sqrt{22} จาก -20

$$x=\frac{-4\sqrt{22}i-20}{-8}$$

หาร -20-4i\sqrt{22} ด้วย -8

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

เพิ่ม 47 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-4x^{2}+20x-47-\left(-47\right)=-\left(-47\right)$$

ลบ -47 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$-4x^{2}+20x=-\left(-47\right)$$

ลบ -47 จาก 0

$$-4x^{2}+20x=47$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$\frac{-4x^{2}+20x}{-4}=\frac{47}{-4}$$

หารด้วย -4 เลิกทำการคูณด้วย -4

$$x^{2}+\frac{20}{-4}x=\frac{47}{-4}$$

หาร 20 ด้วย -4

$$x^{2}-5x=\frac{47}{-4}$$

หาร 47 ด้วย -4

$$x^{2}-5x=-\frac{47}{4}$$

หาร -5 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{5}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{5}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{47}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{5}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-47+25}{4}$$

เพิ่ม -\frac{47}{4} ไปยัง \frac{25}{4} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{11}{2}$$

ตัวประกอบ x^{2}-5x+\frac{25}{4} โดยทั่วไป เมื่อ x^{2}+bx+c เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{2}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{2}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{22}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{22}i}{2}$$

เพิ่ม \frac{5}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2} x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$