แก้โจทย์ -3x^2+5x+2geq0

$$- 3 x ^ { 2 } + 5 x + 2 \geq 0$$

หาค่า x

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

คูณอสมการด้วย -1 เพื่อทำให้สัมประสิทธิ์ของค่ายกกำลังสูงสุดใน -3x^{2}+5x+2 เป็นค่าบวก เนื่องจาก -1 เป็นค่าลบทิศทางอสมการจะถูกเปลี่ยนแปลง

$$3x^{2}-5x-2\leq 0$$

เมื่อต้องการแก้อสมการ ให้แยกตัวประกอบด้านซ้ายมือ สมการพหุนามกำลังสองสามารถแยกตัวประกอบโดยใช้การแปลง ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) ที่ x_{1} และ x_{2} เป็นผลเฉลยของสมการกำลังสอง ax^{2}+bx+c=0

$$3x^{2}-5x-2=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 3 สำหรับ a -5 สำหรับ b และ -2 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

ทำการคำนวณ

$$x=\frac{5±7}{6}$$

แก้สมการ x=\frac{5±7}{6} เมื่อ ± เป็นบวก และเมื่อ ± เป็นลบ

$$x=2 x=-\frac{1}{3}$$

เขียนอสมการใหม่โดยใช้ผลเฉลยที่ได้

$$3\left(x-2\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)\leq 0$$

เพื่อให้ผลคูณเป็น ≤0 ค่าใดค่าหนึ่งของ x-2 และ x+\frac{1}{3} ต้องเป็น ≥0 และค่าอื่นๆ ต้องเป็น ≤0 พิจารณากรณีเมื่อ x-2\geq 0 และ x+\frac{1}{3}\leq 0

$$x-2\geq 0 x+\frac{1}{3}\leq 0$$

เป็นเท็จสำหรับ x ใดๆ

$$x\in \emptyset$$

พิจารณากรณีเมื่อ x-2\leq 0 และ x+\frac{1}{3}\geq 0

$$x+\frac{1}{3}\geq 0 x-2\leq 0$$

ผลเฉลยที่แก้ไขอสมการทั้งสองคือ x\in \left[-\frac{1}{3},2\right]

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$

ผลเฉลยสุดท้ายคือการรวมผลเฉลยที่ได้

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$