แก้โจทย์ -2x^2+12x-14>0

$$- 2 x ^ { 2 } + 12 x - 14 > 0$$

หาค่า x

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

คูณอสมการด้วย -1 เพื่อทำให้สัมประสิทธิ์ของค่ายกกำลังสูงสุดใน -2x^{2}+12x-14 เป็นค่าบวก เนื่องจาก -1 เป็นค่าลบทิศทางอสมการจะถูกเปลี่ยนแปลง

$$2x^{2}-12x+14<0$$

เมื่อต้องการแก้อสมการ ให้แยกตัวประกอบด้านซ้ายมือ สมการพหุนามกำลังสองสามารถแยกตัวประกอบโดยใช้การแปลง ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) ที่ x_{1} และ x_{2} เป็นผลเฉลยของสมการกำลังสอง ax^{2}+bx+c=0

$$2x^{2}-12x+14=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 2 สำหรับ a -12 สำหรับ b และ 14 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

ทำการคำนวณ

$$x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4}$$

แก้สมการ x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4} เมื่อ ± เป็นบวก และเมื่อ ± เป็นลบ

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

เขียนอสมการใหม่โดยใช้ผลเฉลยที่ได้

$$2\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

เพื่อให้ผลคูณเป็นค่าลบ x-\left(\sqrt{2}+3\right) และ x-\left(3-\sqrt{2}\right) ต้องเป็นเครื่องหมายตรงกันข้าม พิจารณากรณีเมื่อ x-\left(\sqrt{2}+3\right) เป็นค่าบวก และ x-\left(3-\sqrt{2}\right) เป็นค่าลบ

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

เป็นเท็จสำหรับ x ใดๆ

$$x\in \emptyset$$

พิจารณากรณีเมื่อ x-\left(3-\sqrt{2}\right) เป็นค่าบวก และ x-\left(\sqrt{2}+3\right) เป็นค่าลบ

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

ผลเฉลยที่แก้ไขอสมการทั้งสองคือ x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

ผลเฉลยสุดท้ายคือการรวมผลเฉลยที่ได้

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$